高一数学必修14清北班 孙墨漪总结暑假第2讲.pdf

函数的三要素

一、函数的概念

1、函数的概念：

一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照

某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称

:→为从集合到集合的一个函数，记作=()，∈．其中叫做自变

量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值对应的值叫做函数值，函数值

的集合{∣=(),∈}叫做函数的值域．

【注意】

(1)函数两个本质属性：任意与唯一．

①“任意”指的是不能一对空，即集合中的每个元素都必须存在函数值，

否则不能构成集合．

②“唯一”指的是不允许一对多，即集合中每个元素与集合中的对应元素

只有一个．

(2)函数的记号：=()，其中是对应法则，()表示：在对应法则下，自

变量对应的函数值．

(3)字母都是浮云：表示函数可以是()，()，ℎ()，变量是,,都可以．

2、函数的三要素：定义域、值域、对应法则。

3、函数相同：当两个函数的定义域与对应法则相同时，则两个函数相同．

4、复合函数：

如果是的函数，记作=()，是的函数，记为=()，且()的值

域与()的定义域的交集非空，则通过确定了是的函数=[()]，这时

叫做的复合函数，其中叫做中间变量，=()叫做外层函数，=()叫做

内层函数．

二、定义域与值域

解决所有函数问题，要树立定义域优先思想，即若函数定义域不为，优先

求出定义域。

1、具体函数定义域一般遵循以下几个原则：

1)解析式是整式时，定义域是全体实数；

1

2)解析式是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数；

3)解析式是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合；

4)对数函数的真数大于零，当指数、对数、指数函数或对数函数的底数中含

变量时，底数须大于零且不等于1；

5)零（负）指数幂的底数不能为零；

6)若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般

是各基本初等函数的定义域的交集；

2、复合函数的定义域：

首先求出内层函数对应的值域，将其看做外层函数的定义域，求出对应下外

层函数的定义域即为整个复合函数的定义域。

3、常见函数的值域

一次函数=+(≠0)的值域为．

24−2

二次函数=++(≠0),当0时的值域为[,+∞),

4

4−2

当0时的值域为(−∞,].

4

反比例函数=(≠0)的值域为{∈|≠0}.

指数函数=(0且≠1)的值域为．

对数函数=log(0且≠1)的值域为．

正、余弦函数的值域为[−1,1],正、余切函数的值域为．

【注意】

二次函数若对定义域没有限制，定义域为,则值域为上述所说；若对定义域

有限制，需要判断对称轴是否在限定区间内，再考虑端点离对称轴的远近，结合

图像求解。

三、对应法则

1、函数的表示方法

(1)解析法：如果在函数=(