专题40：空间角的向量求法-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）（原卷版）_1.docx

专题40：空间角的向量求法

精讲温故知新

⑴求异面直线所成的角

已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则

例1：（2018·全国·高考真题（理））在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为

A． B． C． D．

举一反三

1．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（???????）

A． B． C． D．

2．（2022·山西晋城·三模（文））在正方体中，点P是底面的中心，则直线与所成角的余弦值为___________.

⑵求直线和平面所成的角

求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，则为的余角或的补角

的余角.即有：

例2：（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥中，底面．

(1)证明：；

(2)求PD与平面所成的角的正弦值．

举一反三

（2022·浙江·高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．

(1)证明：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

⑶求二面角

二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.

OA

O

A

B

O

A

B

l

求法：设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角

根据具体图形确定是锐角或是钝角：

如果是锐角，则，即；

如果是钝角，则，即.

例3：（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

(1)求A到平面的距离；

(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

举一反三

（2022·全国·高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；

(2)若，，，求二面角的正弦值．

精练巩固提升

1．（2018·江苏·高考真题）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．

（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；

（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．

2．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．

(1)求证：平面；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

3．（2022·全国·高考真题（理））如图，四面体中，，E为的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．

4．（2021·全国·高考真题）在四棱锥中，底面是正方形，若．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

5．（2021·北京·高考真题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．

（1）求证：为的中点；

（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．

6．（2021·浙江·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

7．（2021·全国·高考真题（理））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．

（1）求；

（2）求二面角的正弦值．

8．（2021·全国·高考真题（理））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．

（1）证明：；

（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?

9．（2020·海南·高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

（1）证明：l⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．

10．（2020·江苏·高考真题）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．

（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；

（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．

11．（2019·浙江·高考真题）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的余弦值.

12．（2019·全国·高考真题（理））图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求图2中的二面角B?CG?A的大小.