专题41：空间距离向量求法-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）（原卷版）_1.docx

专题41：空间距离向量求法

精讲温故知新

⑴点Q到直线距离

若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为

例1：（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______．

举一反三

2022辽宁省大连市三模）如图，在正三棱柱中，若，，则点到直线的距离为___________.

⑵点A到平面的距离

若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.

即

例2：（2022·河南郑州·二模（理））如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（???????）

A． B． C． D．

举一反三

（2022·湖北·黄冈中学模拟预测（理））在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A关于平面BDC1对称点为M，则M到平面A1B1C1D1的距离为（）

A． B． C． D．

⑶直线与平面之间的距离

当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。即

例3：正三棱柱的所有棱长都为2.则到平面的距离是（???????）

A． B． C． D．

举一反三

如图，若正四棱柱的底边长为1，，E是的中点，则到平面EAC的距离为（???????）

A． B． C． D．

⑷两平行平面之间的距离

利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即

例4：在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求平面与平面之间的距离．

举一反三

在正方体中，M，N，E，F分别为，，，的中点，棱长为4，求平面MNA与平面EFBD之间的距离．

⑸异面直线间的距离

设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。即

例5：（2022·山西·一模（理））在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面平面，活动弹子分别在正方形对角线，上移动，则长度的最小值是___________．

举一反三

（2007·重庆·高考真题（理））如图，在直三棱柱ABC—中，AB=1,；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5．

（1）求异面直线DE与的距离；

精练巩固提升

一、单选题

1．（2022·天津市第四中学模拟预测）已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为，则＝()

A．－1 B．－11

C．－1或－11 D．－21

2．（2022·安徽淮北·一模（理））在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（???????）

A． B． C． D．

3．（2022·湖北咸宁·高考模拟（理））若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为

A．1 B．2 C． D．

4．（2022·江苏·高二期中）在空间直角坐标系中，平面的法向量为，已知，则P到平面的距离等于（）

A． B． C． D．

5．（2021·河北·石家庄市第十二中学高二期中）已知直线l的方向向量为，点在直线l上，则点到直线l的距离为（???????）

A． B． C． D．

6．（2021·河北·高二期中）在三棱柱中，，，，则该三棱柱的高为（???????）

A． B． C．2 D．4

7．（2022·北京·二模）如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（???????）

A．1 B． C． D．

8．（2022·福建厦门·三模）如图在四棱锥的平面展开图中，四边形是边长为2的正方形，三角形是以为斜边的等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的球心到面的距离为（）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2022·江苏连云港·模拟预测）如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，AD=DE=4，为线段上的动点，则（???????）

A．

B．若为线段的中点，则平面

C．点B到平面CEF的距离为

D．的最小值为48

10．（2022·广东梅州·二模）在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（???????）

A．当为中点时，为锐角

B．存在点，使得平面

C．的最小值

D．顶点到平面的最大距离为

三、填空题

11．（2022·河南·模拟预测（文））在直四棱柱中，底面为正方形，．点P在侧面内，若平面，则点P到的距离的最小值为________．

12．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点N到平面的距离为________.