专题51：回归分析-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）（解析版）_1.docx

专题51：回归分析

精讲温故知新

成对数据统计的相关性

一、相关关系

两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．

相关关系与函数关系的异同点

(1)相同点：均是指两个变量的关系．

(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定关系．

②相关关系中两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随机因素的影响．

例1：下列两个变量之间的关系是相关关系的是（???????）．

A．正方体的棱长和体积

B．单位圆中圆心角的度数和所对弧长

C．学生的学籍号与学生的数学成绩

D．日照时间与水稻的亩产量

【答案】D

【详解】选项A，B中两个变量之间是确定的函数关系，不是相关关系；

选项C中学生的学籍号与学生的数学成绩是不相关的；

选项D中日照时间与水稻的亩产量是相关的．

故选：D．

举一反三

（多选）在下列所示的四个图中，每个图的两个变量间具有相关关系的是（???????）．

A． B． C． D．

【答案】BC

【详解】对于A，散点落在某条曲线上，两个变量具有函数关系；

对于B、C，散点落在某条直线附近，这两个变量具有相关关系；

对于D，散点杂乱无章，无规律可言，这两个变量无相关性，不具有相关关系.

故选：BC

二、散点图

1．如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；

如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关．

2．一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关．

3．一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．

判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．

散点图的应用

从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线。

例2：在以下4幅散点图中，图______中的y和x之间存在相关关系（将正确答案的序号填在横线上）

【分析】根据散点图直接分析可知.

【详解】

图（2）（3）中的点成带状区域分布在某一直线附近，（4）中点分布在某一曲线附近，故（2）（3）（4）存在相关关系.

故答案为：（2）（3）（4）

举一反三

1.在一项调查中有两个变量和，如图是由这两个变量近年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程的函数类型是（???????）

A． B． C．D．

【答案】B

【详解】散点图呈曲线，A中函数为线性函数，不合题意，排除选项；

由散点图可知整体呈增长态势，且增长速度变慢，

对B选项中函数，当时，函数为单调递增函数，且增长速度逐渐变慢，符合题意，故B正确；

对于C选项，当时，函数为开口向上的二次函数，增长先慢后快,不合题意,

当时，函数为开口向下的二次函数，增长先慢后快,不合题意,排除选项C；

对于D选项，函数为指数型函数，当时单调递增，且越增越快，不合题意，

当时为单调递减函数，不合题意，故排除D；

故选：B

2．（2015·北京·高考真题（文））高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班的3位学生．

从这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是___；

②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是___.

【答案】????乙????数学

【解析】

【详解】

①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙.

②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学.

4、样本的相关系数

r＝，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．

(1)当r＞0时，表明两个变量正相关；

(2)当r＜0时，表明两个变量负相关；

5、相关关系的强弱

样本相关系数r的取值范围为[－1,1]．

当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；

当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．

注意点：

当|r|＝1时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系．

当r＝0时，表明成对数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系．

6、样本相关系数的实际应用

当样本相关系数|r|越接近1时，两个变量的相关关系越强，当样本相关系数|r|越接近0时，两个变量的相关关系越弱．

例3：1．（2022·全国·哈师大附中