专题58：直线与椭圆的位置关系-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）（原卷版）_1.docx

专题58：直线与椭圆的位置关系

1..点与椭圆的位置关系

点P(x0，y0)在椭圆内部的充要条件是；在椭圆外部的充要条件是；

在椭圆上的充要条件是.

2.直线与椭圆的位置关系.

设直线l：Ax+By+C=0，椭圆C：，联立l与C，消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，

则l与C相离的Δ0；l与C相切Δ=0；l与C相交于不同两点Δ0.

3.弦长计算

计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)|P1P2|=（k为直线斜率）形式(利用根与系数关系

（推导过程：若点在直线上，

则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

或者

。)

4.中点弦问题

关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：

(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.

(2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，直线与椭圆交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x0，y0)，则

eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1.②))

由①－②得a2(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＋b2(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＝0，

∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0).

这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决．

题型一：直线与椭圆的位置关系

例1：（2021·天津·高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．

举一反三

1．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）椭圆的左右焦点为为椭圆上一点，直线分别交椭圆于M，N两点，则当直线的斜率为时，（???????）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．（2022·四川·仁寿一中二模（文））已知分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上关于x轴对称的不同两点，设直线的斜率分别为，若，则椭圆的短轴长为（???????）

A． B． C． D．

题型二：椭圆的弦长

例2：（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知椭圆：的离心率为，为过椭圆右焦点的一条弦，且长度的最小值为2．

(1)求椭圆的方程．

(2)若斜率为1的直线与椭圆交于，两点，点，直线的斜率为，求线段的长度．

举一反三

1．（2022·河南郑州·三模（文））斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（???????）

A．2 B． C． D．

2．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））设A，B两点坐标分别为，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为．

(1)求点M的轨迹方程E；

(2)求曲线E内接矩形面积S的最大值．

题型三：椭圆的焦点弦

例3：（2019·浙江·高考真题）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是____.

举一反三

（2021·全国·模拟预测）如图，椭圆的左?右焦点分别为，，过点，分别作弦，.若，则的取值范围为（???????）

A． B． C． D．

题型四：椭圆的中点弦

例4：（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．

举一反三

（2022·上海·模拟预测）已知椭圆()与直线交于A、B两点，，且中点的坐标为，则此椭圆的方程为________．

题型五：椭圆中参数的范围及最值

例5：（2018·浙江·高考真题）已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．

举一反三

1．（2021·全国·高考真题（文））设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（???????）

A． B． C． D．2

（2017·全国·高考真题（文））（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是

A． B．

C． D．

题型六：椭圆中的定点、定值问题

例6：（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐