2025年高考数学一轮复习讲义(新高考专用)专题20任意角和弧度制及三角函数的概念(原卷版+解析).docxVIP

专题20任意角和弧度制及三角函数的概念（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 3

【考点突破】 4

【考点1】象限角及终边相同的角 4

【考点2】弧度制及其应用 6

【考点3】三角函数的定义及应用 8

【分层检测】 9

【基础篇】 9

【能力篇】 12

【培优篇】 13

考试要求：

1.了解任意角的概念和弧度制的概念.

2.能进行弧度与角度的互化.

3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

知识梳理

知识梳理

1.角的概念的推广

(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.

(2)分类eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.

2.弧度制的定义和公式

(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.

(2)公式

角α的弧度数公式

|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)

角度与弧度的换算

1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°

弧长公式

弧长l＝|α|r

扇形面积公式

S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2

3.任意角的三角函数

(1)定义

前提

如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)

定义

正弦

y叫做α的正弦函数，记作sinα，即sinα＝y

余弦

x叫做α的余弦函数，记作cosα，即cosα＝x

正切

eq\f(y,x)叫做α的正切函数，记作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)

三角函数

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数

(2)定义的推广

设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r0)，那么sinα＝eq\f(y,r)；cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).

1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

2.角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.

3.象限角

4.轴线角

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（????）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（????）

A． B． C． D．

二、填空题

3．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为，．

4．（2023·全国·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则．

??

5．（2023·全国·高考真题）若，则．

6．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为．

考点突破

考点突破

【考点1】象限角及终边相同的角

一、单选题

1．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（????）

A． B．

C． D．

2．（2022·全国·模拟预测）已知角第二象限角，且，则角是（????）

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

二、多选题

3．（23-24高一上·吉林长春·期末）下列说法正确的是（????）

A．“为第一象限角”是“为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件

B．“，”是“”的充要条件

C．设，，则“”是“”的充分不必要条件

D．“”是“”的必要不充分条件

4．（22-23高二下·吉林长春·期末）下列说法正确的是（????）

A．轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为

B．若，则

C．已知为锐角，，角的终边上有一点，则

D．在范围内，与角终边相同的角是和

三、填空题

5．（2022·河南开封·三模）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线对称.若，则.

6．（2022·全国·模拟预测）已知的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在第二象限，，则的值为．

反思提升：

(1)利用终边相同的