2025年高考数学一轮复习讲义(新高考专用)专题21同角三角函数的基本关系及诱导公式(原卷版+解析).docxVIP

PAGE2/NUMPAGES2

专题21同角三角函数的基本关系及诱导公式（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 2

【考点突破】 6

【考点1】同角三角函数基本关系式的应用 6

【考点2】诱导公式的应用 9

【考点3】同角关系式和诱导公式的综合应用 14

【分层检测】 17

【基础篇】 17

【能力篇】 25

【培优篇】 27

考试要求：

1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.

2.能利用单位圆中的对称性推导出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.

知识梳理

知识梳理

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).

2.三角函数的诱导公式

公式

一

二

三

四

五

六

角

2kπ＋α(k∈Z)

π＋α

－α

π－α

eq\f(π,2)－α

eq\f(π,2)＋α

正弦

sinα

－sin__α

－sin__α

sin__α

cos__α

cos__α

余弦

cosα

－cos__α

cos__α

－cos__α

sin__α

－sin__α

正切

tanα

tan__α

－tan__α

－tan__α

口诀

奇变偶不变，符号看象限

1.同角三角函数关系式的常用变形

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.

2.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.

3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（????）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2．（2021·全国·高考真题）若，则（????）

A． B． C． D．

3．（2021·全国·高考真题）若，则（????）

A． B． C． D．

4．（2021·全国·高考真题）（????）

A． B． C． D．

二、填空题

5．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则．

三、解答题

6．（2023·全国·高考真题）在中，已知，，.

(1)求；

(2)若D为BC上一点，且，求的面积.

参考答案：

1．B

【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.

【详解】当时，例如但，

即推不出；

当时，，

即能推出.

综上可知，甲是乙的必要不充分条件.

故选：B

2．A

【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】

，

，，，解得，

，.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.

3．C

【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．

【详解】将式子进行齐次化处理得：

．

故选：C．

【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．

4．D

【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.

【详解】由题意，

.

故选：D.

5．2

【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.

【详解】因为为偶函数，定义域为，

所以，即，

则，故，

此时，

所以，

又定义域为，故为偶函数，

所以.

故答案为：2.

6．(1)；

(2).

【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；

(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.

【详解】（1）由余弦定理可得：

，

则，，

.

（2）由三角形面积公式可得，

则.

考点突破

考点突破

【考点1】同角三角函数基本关系式的应用

一、单选题

1．（2024·四川眉山·三模）已知，则（????）

A． B． C． D．

2．（2024·河南三门峡·模拟预测）若，则的值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

3．（2024·全国·模拟预测）已知角的终边过点，则（????）

A． B．

C． D．

4．（2024·全国·模拟预测）美国数学史家、穆伦堡学院名誉数学教授威廉?邓纳姆在1994年出版的TheMathematicalUniverse一书中写道：“相比