2025年高考数学一轮复习讲义(新高考专用)专题37空间点、直线、平面之间的位置关系(原卷版+解析).docxVIP

专题37空间点、直线、平面之间的位置关系（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 4

【考点突破】 6

【考点1】基本事实的应用 6

【考点2】空间位置关系的判断 8

【考点3】异面直线所成的角 9

【分层检测】 11

【基础篇】 11

【能力篇】 14

【培优篇】 15

考试要求：

1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.

2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.

知识梳理

知识梳理

1.与平面有关的基本事实及推论

(1)与平面有关的三个基本事实

基本事实

内容

图形

符号

基本

事实1

过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线?存在唯一的α使A，B，C∈α

基本

事实2

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α

基本

事实3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l

(2)基本事实1的三个推论

推论

内容

图形

作用

推论1

经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面

确定平面的依据

推论2

经过两条相交直线，有且只有一个平面

推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面

2.空间点、直线、平面之间的位置关系

直线与直线

直线与平面

平面与平面

平行关系

图形

语言

符号

语言

a∥b

a∥α

α∥β

相交关系

图形

语言

符号

语言

a∩b＝A

a∩α＝A

α∩β＝l

独有关系

图形

语言

符号

语言

a，b是

异面直线

a?α

3.基本事实4和等角定理

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

4.异面直线所成的角

(1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.

2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2024·全国·高考真题）设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：

①若，则或??????????②若，则或

③若且，则???????④若与,所成的角相等，则

其中所有真命题的编号是（????）

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④

2．（2024·天津·高考真题）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（???）

A．若，，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则与相交

3．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（????）

A． B． C． D．

4．（2021·全国·高考真题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

5．（2022·全国·高考真题）已知正方体，则（????）

A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为

C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为

6．（2021·全国·高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（????）

A． B．

C． D．

三、解答题

7．（2021·北京·高考真题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．

（1）求证：为的中点；

（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．

8．（2021·浙江·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

考点突破

考点突破

【考点1】基本事实的应用

一、单选题

1．（2002·全国·高考真题）已知，为异面直线，平面，平面，，则（????）

A．与，都相交 B．与，中至少一条相交

C．与，都不相交 D．至多与，中的一条相交

2．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在正方体中，M是棱上一点，平面与棱交于点N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（????）

①四边形是平行四边形；②四边形可能是正方形；③存在平面与直线垂直；④任意平面都与平面垂直.

??

A．①② B．③④ C．①④ D．①②④

二、多选题

3．（2023·河北·模拟预测）如图，已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，交平面于点E，点F为棱CD的中点，则（????）

A．三点