线性系统的可控性和可观测性.pptVIP

2.状态可观测性的定义对线性系统而言,状态可观测性只与系统的输出y(t),以及系统矩阵A和输出矩阵C有关,与系统的输入u(t)和输入矩阵B无关,即讨论状态可观测性时,只需考虑系统的自由运动即可。上述结论可证明如下:对线性定常系统?(A,B,C),其状态和输出的解分别为因为矩阵A,B,C和输入u(t)均已知,故上式的右边第二项可以计算出来,也是已知项。故可以定义如下辅助输出:研究状态可观测性问题,即为上式对任意的初始状态x(t0)能否由辅助输出y-(t)来唯一确定的问题。所以线性系统状态可观测性仅与输出y(t),以及系统矩阵A和输出矩阵C有关,与输入矩阵B和输入u(t)无关。也就是说,分析线性系统的可观测性时,只需考虑齐次状态方程和输出方程即可。因此,我们有如下线性系统状态可观测性的定义。对线性连续系统,我们有如下状态可观测性定义。定义：若线性连续系统对初始时刻t0(t0?T,T为时间定义域)和初始状态x(t0),存在另一有限时刻t1(t1t0,t1?T),根据在有限时间区间[t0,t1]内量测到的输出y(t),能够唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0),则称在t0时刻的状态x(t0)可观测;若对t0时刻的状态空间中的所有状态都可观测,则称系统在t0时刻状态完全可观测;若存在某个状态x(t0)不可观测，称此系统是状态不完全可观测的,简称系统为状态不可观测。对上述状态可观测性的定义有如下注记。对于线性定常系统,由于系统矩阵A(t)和输出矩阵C(t)都为常数矩阵,与时间无关,因此不必在定义中强调“在所有时刻状态完全可观测”,而为“某一时刻状态完全可观测,则系统状态完全可观测”。单击此处可添加副标题上述定义中的输出观测时间为[t0,t1],并要求t1t0。这是因为,输出变量y(t)的维数m一般总是小于状态变量x(t)的维数n。否则,若m=n且输出矩阵C(t)可逆,则x(t)=C-1(t)y(t)即状态变量x(t)可直接由输出y(t)确定。由于mn,为了能唯一地求出状态变量的值,不得不依靠在一定区间内测量得的连续(或有限几组)输出值以确定系统状态。在定义中把可观测性定义为对初始状态的确定,这是因为,一旦确定初始状态,便可根据状态方程的解表达式,由初始状态和输入,计算出系统各时刻的状态值。单击此处添加大标题内容2线性定常连续系统?(A,C)3可观测性判据有许多不同形式,包括1线性定常连续系统的可观测性判据6模态判据5秩判据4格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据线性定常连续系统?(A,C)完全可观测的充要条件为:存在t1(t10),使得如下可观测格拉姆(Gram)矩阵为非奇异的秩判据线性定常连续系统?(A,C)完全可观测的充要条件为:定义如下的可观测性矩阵满秩,即rankQo=n证明对于线性定常系统,由可观测性定义可知,其状态可观测性与初始时刻无关。因此,不失一般性,可设初始时刻t0为0。根据输出方程解的表达式,有y(t)=CeAtx(0)由可观测性的定义可知,线性定常连续系统的状态是否完全可观测,等价于上述方程是否有x(0)的唯一解问题。将凯莱-哈密顿定理代入上式：例：试判断如下系统的状态可观测性解由状态可观测性的代数判据有而系统的状态变量的维数n=2,所以系统状态不完全可观测。（3）模态判据对角规范型判据：对为对角规范形的线性定常连续系统?(A,C),有：若A的所有特征值互异,则系统可观测的充要条件为：C中不包含元素全为0的列；若A有重特征值,则系统可观测的充要条件为：重特征值对应的C中的列线性无关。约旦规范形判据：对为约旦规范形的线性定常连续系统?(A,C),有:若A为每个特征值都只有一个约旦块的约旦矩阵,则系统可观测的充要条件为对应A的每个约旦块的C的分块的第一列不全为零;若A为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,则系统可观测的充要条件为对应A的每个特征值的所有约旦块的C的分块的第一列线性无关。模态判据不仅可判别出状态可观测性,而且更进一步地指出是系统的哪一模态(特征值或极点)和哪一状态不可观测。这对于进行系统分析、状态观测器和反馈校正是非常有帮助的。例：试判断如下系统的状态可观测性。解由定理4-8可知,A为特征值互异的对角线矩阵,但C中的第2列全为零,故该系统的状态x2不可观测,则系统状态不完全可观测。状态空间x1-x2不完全可观测状态变量x1完全可观测状态变量x2完全不可观测解由于A为每个特征值都只有一个约旦块,且对应于各约旦块的C的分块的第一列都不全为零,故系统状态完全可观测。状态变量x3完全可观测状态空间x1-x2-x3