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重难点专题函数性质综合复习

基础知识点：

1.单调性：

（1）单调函数的定义

一般地，设函数的定义域为，区间：

如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．

如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．

=1\*GB3①属于定义域内某个区间上；

=2\*GB3②任意两个自变量，且；

=3\*GB3③都有或；

=4\*GB3④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．

（2）单调性与单调区间

=1\*GB3①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．

=2\*GB3②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．

（3）复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.

2.奇偶性：

函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数

关于轴对称

奇函数

如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数

关于原点对称

3.周期性：

（1）周期函数：

对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.

（2）最小正周期：

如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.

4.对称性：

(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．

(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．

(3)若，则函数关于对称．

(4)若，则函数关于点对称．

题型：

题型1【函数定义相关类型】

备注：利用函数定义域、值域、解析式的关系进行判断

【例1】．（2324高一上·上海·期末）存在函数满足：都有（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】A：令，则，故，显然不满足函数定义；

B：令，则，故，显然不满足函数定义；

C：令，则，故，显然不满足函数定义；

D：令，则，故，满足函数定义.故选：D

【例2】．（2324高一·浙江·期末）存在函数满足对于任意都有（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】解：A.，一个对应两个，错误；B.，

，一个对应两个，错误；

C.，

，一个对应两个，错误；

D.，则，正确.

故选：D.

【变式11】．（2324高一上·湖北宜昌·期中·多选）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利?欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设是两个非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合中的每一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数”．下列对应法则满足函数定义的有（????）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】解：对于A中，令，可得，则，所以不满足函数的定义，所以A不正确；

对于B中，令，则，则，满足函数的定义，所以B正确；

对于C中，令，则，所以，满足函数的定义，所以C正确；

对于D中，由于函数中的每一个值，都有唯一的一个与之对应，

所以满足函数的定义，所以D正确.

故选：BCD.

【变式12】．（2024·安徽合肥·模拟预测）存在函数，对于任意都成立的下列等式的序号是．

①；②；③；④．

【答案】④

【解析】①当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；

②当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；

③当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；

④令，所以，令，所以，

所以，所以，符合，

故答案为：④.

题型2【单一函数的性质综合】

备注：利用函数的对称性、奇偶性判断出周期，再进行判断

【例1】．（2324高一下·湖南怀化·期末）已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且对于，当时，，则（????）

A． B．是奇函数

C．是周期为4的周期函数 D．

【答案】D

【解析】由的图象关于直线对称，知的图象关于y轴对称，

所以是偶函数，所以B错误.

在中，令得，

又，所以，所以，知是周期为6的周期函数，所以C错误.

对于，当时，，

故在上单调递减，所以，所以A错误.

对于D，，，

由在上单调递减，得即，D正确，

故选：D