2025年高考数学一轮复习讲义(新高考专用)专题53最值、范围问题(原卷版+解析).docxVIP

专题53最值、范围问题（新高考专用）

目录

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【真题自测】 2

【考点突破】 3

【考点1】最值问题 3

【考点2】范围问题 4

【分层检测】 6

【基础篇】 6

【能力篇】 8

【培优篇】 9

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（????）．

A． B． C． D．

二、解答题

2．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．

(1)求椭圆方程．

(2)过点的动直线与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．

3．（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．

(1)求C的方程；

(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．

4．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．

(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；

(2)求的最小值．

考点突破

考点突破

【考点1】最值问题

一、解答题

1．（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．

(1)求的方程．

(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．

（i）证明：直线过定点；

（ii）求面积的最大值．

2．（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．

(1)求的方程；

(2)若的面积为，求的方程；

(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．

3．（2024·上海·模拟预测）已知点在双曲线的一条渐近线上，为双曲线的左、右焦点且.

(1)求双曲线的方程；

(2)过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程；

(3)过点的直线与双曲线左右两支分别交于点，求证：.

4．（2024·山东济南·二模）已知点是双曲线上一点，在点处的切线与轴交于点.

(1)求双曲线的方程及点的坐标；

(2)过且斜率非负的直线与的左?右支分别交于.过做垂直于轴交于（当位于左顶点时认为与重合）.为圆上任意一点，求四边形的面积的最小值.

5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知为抛物线：上的一点，直线交于A，B两点，且直线，的斜率之积为2.

(1)求的准线方程；

(2)求的最小值.

6．（2024·内蒙古·三模）已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是上一点，且.

(1)求的方程；

(2)是上两点（异于点），以为直径的圆过点为的中点，求直线斜率的最大值.

反思提升：

处理圆锥曲线最值问题的求解方法

圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.

【考点2】范围问题

一、解答题

1．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆E：，直线与E交于，两点，点P在线段MN上（不含端点），过点P的另一条直线与E交于A，B两点.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若，，点A在第二象限，求直线的斜率；

(3)若直线MA，MB的斜率之和为2，求直线的斜率的取值范围.

2．（2024·重庆·三模）已知F，C分别是椭圆的右焦点、上顶点，过原点的直线交椭圆于A，B两点，满足．

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆的下顶点为，过点作两条互相垂直的直线，这两条直线与椭圆的另一个交点分别为M，N，设直线的斜率为的面积为，当时，求的取值范围．

3．（2025·浙江·模拟预测）已知P为双曲线C：上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切．

(1)若点P是直线与圆的交点，求a；

(2)求的取值范围．

4．（2024·贵州贵阳·三模）已知为双曲线的右顶点，过点的直线交于D、E两点.

(1)若，试求直线的斜率;

(2)记双曲线的两条渐近线分别为，过曲线的右支上一点作直线与，分别交于M、N两点，且M、N位于轴右侧，若满足，求的取值范围（为坐标原点）.

5．（2024·重庆·三模）设圆D：与抛物线C：交于E，F两点，已知

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线l：与抛物线C交于A，B两点点A在第一象限，动点异于点A，在抛物线C上，连接MB，过点A作交抛物线C于点N，设直线AM与直线BN交于点P，当点P在直线l的左边时，求：

①点P的轨迹方程；

②面积的取值范围.

6．（2024·辽宁·模拟预测）在直角坐标系xOy中，点