2025年高考数学一轮复习讲义(新高考专用)专题57成对数据的统计分析(原卷版+解析).docxVIP

专题57成对数据的统计分析（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 4

【考点突破】 9

【考点1】成对数据的相关性 9

【考点2】回归分析 11

【考点3】独立性检验 14

【分层检测】 18

【基础篇】 18

【能力篇】 22

考试要求：

1.了解样本相关系数的统计含义.

2.了解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题.

3.会利用统计软件进行数据分析.

知识梳理

知识梳理

1.变量的相关关系

(1)相关关系

两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.

(2)相关关系的分类：正相关和负相关.

(3)线性相关

一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.

一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.

2.样本相关系数

(1)相关系数r的计算

变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：

(2)相关系数r的性质

①当r0时，称成对样本数据正相关；当r0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系.

②样本相关系数r的取值范围为[－1，1].

当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；

当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

3.一元线性回归模型

(1)经验回归方程与最小二乘法

我们将eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))叫做b，a的最小二乘估计，

其中

(2)利用决定系数R2刻画回归效果

，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差.

4.列联表与独立性检验

(1)2×2列联表

一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为

x

y

合计

y＝y1

y＝y2

x＝x1

a

b

a＋b

x＝x2

c

d

c＋d

合计

a＋c

b＋d

n＝a＋b＋c＋d

(2)临界值

χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立.我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准.

(3)独立性检验

基于小概率值α的检验规则是：

当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；

当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立.

这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.

下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值

α

0.1

0.05

0.01

0.005

0.001

xα

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

1.求解经验回归方程的关键是确定回归系数eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，应充分利用回归直线过样本点的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))).

2.根据经验回归方程计算的eq\o(y,\s\up6(^))值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.

3.根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两分类变量有关的把握越大.

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2024·全国·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表

亩产量

[900，950）

[950，1000）

[1000，1050）

[1050，1100）

[1100，1150）

[1150，1200）

频数

6

12

18

30

24

10

根据表中数据，下列结论中正确的是（????）

A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

2．（2023·全国·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和