高二课改目标清北班课后总结第9讲.pdf

数学归纳法

一、数学归纳法的基本步骤和概念

数学归纳法是用来证明某些与正整数有关的数学命题的一种方法．它的基

本步骤是：

(1)验证：=时，命题成立；

0

(2)在假设当=(≥)时命题成立的前提下，推出当=+1时，命

0

题成立．

根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数都成立．

【注意】

①用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数，

注意不一定是1.

②当证明从到+1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明

命题对=+1成立时，必须运用命题对=成立的归纳假设．步骤二中，

在由到+1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结

论．关键是明确=+1时证明的目标，充分考虑由=到=+1时命题

形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应

用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当=+1时命题也成立，这也

是做题的常用方法．

③用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整

数有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必

须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确．

④要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一

般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．

二、数学归纳法题型总结

1、用数学归纳法证明等式

222()

12+1

∗

（1）用数学归纳法证明：++⋯+=(∈).

()()()

1×33×52−12+122+1

1211×(1+1)1

解：①当=1时，左边==，右边==,

1×332×(2×1+1)3

左边=右边，等式成立.

()

②假设=≥1时，等式成立.

1

222()

12+1

即++⋯+=,

()()()

1×33×52−12+122+1

12222(+1)2

当=+1时,左边=++⋯++

(