知其然更知其所以然中国先哲.pptVIP

知其然,更知其所以然.-中国先哲哪里有数,哪里就有美.-Proclus

数学实验上海交大数学科学学院?的计算

实际问题用Matlab可以求出?到几百位?―圆周率,我们十分熟悉的常数.你也许能写出?=3.1415926535vpa(pi)但你会计算?的值吗？你又能用几种方法计算？ans=digits(100)

刘徽割圆法从正六边形开始，逐步求边长与面积oABCD相应ΔOAC的面积设边数为6·2n的正多边形边长为an递推法

于是?的值(刘徽计算到192边形面积，得到??3.141)用Matlab计算m文件functioncalpi(n)a(1)=1;fori=1:n-1a(i+1)=sqrt(2-sqrt(4-a(i)^2));endS=3*2^(n-1)*a(n)命令窗口输入formatlonggcalpi(5)

如何提高精度提高多边形的边数不能完全达到目的在Matlab文件中解决符号运算functioncalpi1(n)a(1)=sym(1); fori=1:n-1a(i+1)=sym(sqrt(2-sqrt(4-a(i)^2)));endS=3*2^(n-1)*a(n);vpa(S,60) %最后进行数值计算，60为数值计算过程中保留的有效数字?

任务1德国人鲁道夫用一生计算圆周率。他同样是用圆的内接多边形逼近圆周，不过他是从正方形开始成倍增加边数。试推导出他计算所采用的递推公式，然后求π的近似值到10位和20位.

积分导出取x=1利用幂级数计算

(Sn的迭代格式)

用Matlab计算创建m文件calpi2.m，内容如下：functioncalpi2(n)S=0;fori=1:nifmod(i,2)==0S=S-1/(2*i-1);elseS=S+1/(2*i-1);endendS=4*S

calpi2(1000)ans=calpi2(10000)ans=0102calpi2(20000)ans=03精度提高很慢!04结果如何?

Machin公式01简单公式02能不能算得更快一点、更精确一点？

用Matlab创建m文件functioncalpi2_1(n)S=0;fori=1:nifmod(i,2)==0S=S-1/(2*i-1)*(1/(2^(2*i-1))+1/(3^(2*i-1)));elseS=S+1/(2*i-1)*(1/(2^(2*i-1))+1/(3^(2*i-1)));endendS=vpa(4*S,30) %观察30位有效数字

calpi2_1(10)ans=calpi2_1(20)ans=calpi2_1(50)ans=计算结果

算法很重要1计算机速度2300次/秒?33.86?1040兆/秒3从1950?2000年4104次/秒?1012次/秒，提高1亿倍5?算法(解线性方程组高斯消去法?多重网格法)6?计算机速度7运算次数：81018次?106次，提高1万亿倍9一个结论

任务2所需的项数简单公式和Machin公式所用的项数.试试用此公式右端作幂级数展开完成任务1)2)验证公式求?，若要精确到40位、50位数字，试比较1)用反正切函数的幂级数展开式结合有关公式

回忆在微积分中学习到的其它级数形01式是否可用来求?的值到10位、20位、30位，相应需要级数的多少项？02

将[0,1]区间n等分，取xk=k/n,01yk=1/(1+xk2)02利用数值积分方法

Matlab计算创建m文件梯形法functioncalpi3(n)x=0:1/n:1;y=1./(1+x.^2);S=2*sum(y)-1-0.5;2*S/n

ans=calpi3(100)ans=calpi3(10000)ans=calpi3(500)

1用数值积分计算?，分别用梯形法和Simpson2法精确到10位数字，用Simpson法精确到153位数字.4任务3

针与平行线相交的次数为nMonteCarlo法从Buffon落针实验谈起：纸上一组平行线距离为1，将长度为1的针多次地扔到纸上。若扔针次数为m,而其中Buffon指出：?的数值与m/n有关，他由此求出?的近似值为3.142

设计方案?＝4