2025版高考数学一轮复习第9章算法初步统计与统计案例第4节变量间的相关关系统计案例教学案文含解析北师大版.docVIP

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第四节变量间的相关关系、统计案例

[考纲传真]1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图相识变量间的相关关系.2.了解最小二乘法的思想，能依据给出的线性回来方程系数公式建立线性回来方程.3.了解独立性检验的基本思想、方法及其初步应用.4.了解回来分析的基本思想、方法及简洁应用．

1．相关性

(1)线性相关

若两个变量x和y的散点图中，全部点看上去都在一条直线旁边波动，则称变量间是线性相关的．

(2)非线性相关

若全部点看上去都在某条曲线(不是一条直线)旁边波动，则称此相关为非线性相关的．

(3)不相关

假如全部的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．

2．最小二乘估计

(1)最小二乘法

假如有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2.

使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．

(2)线性回来方程

方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的线性回来方程，其中a，b是待定参数．

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\f(\o(∑,\s\up13(n),\s\do14(i＝1))?xi－\x\to(x)??yi－\x\to(y)?,\o(∑,\s\up13(n),\s\do14(i＝1))?xi－\x\to(x)?2)＝\f(\o(∑,\s\up13(n),\s\do14(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up13(n),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2).,a＝\x\to(y)－b\x\to(x).))

3．回来分析

(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．

(2)样本点的中心

对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))称为样本点的中心．

(3)相关系数r

①r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\x\to(y)2))；

②当r0时，称两个变量正相关．

当r0时，称两个变量负相关．

当r＝0时，称两个变量线性不相关．

4．独立性检验

若一个2×2列联表为：

B

A

B1

B2

总计

A1

a

b

a＋b

A2

c

d

c＋d

总计

a＋c

b＋d

n＝a＋b＋c＋d

则统计量χ2为：

χ2＝eq\f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?).

(1)当χ2≤2.706时，可以认为变量A，B是没有关联的；

(2)当χ22.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；

(3)当χ23.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；

(4)当χ26.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．

eq\o([常用结论])

1．线性回来方程y＝bx＋a肯定过样本点的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．

2．由回来直线求出的数据是估算值，不是精确值．

[基础自测]

1．(思索辨析)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“名师出高徒”可以说明为老师的教学水平与学生的水平成正相关关系． ()

(2)某同学探讨卖出的热饮杯数y与气温x(℃)之间的关系，得回来方程y＝－2.352x＋147.767，则气温为2℃时，肯定可卖出143杯热饮． ()

(3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回来方程，所以没有必要进行相关性检验． ()

(4)若事务A，B关系越亲密，则由观测数据计算得到的χ2的值越小． ()

[答案](1)√(2)×(3)×(4)×

2.(教材改编)为调查中学生近视状况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有劝服力()

A．回来分析 B．均值与方差

C．独立性检验 D．概率

C[“近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验推断．]

3．(教材改编)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝3.5，则由该观测数据算得的线性回来方程可能