线性代数23向量间的线性关系-2线性相关与无关.pptVIP

例证明如果向量组?,?,?线性无关,01证设02∵?,?,?线性无关03=2≠004(*)05方程组(*)只有零解06∴?+?,?+?,?+?线性无关.07则08则?+?,09?+?,?+?也线性无关.课堂练习设证明证设即只有当时(***)式才成立所以?1,?2,…,?n线性无关.线性无关.是n个m维向量存在不全为0的数存在不全为0的数存在不全为0的数齐次线性方程组(*)有非零解.秩(?1,?2,…,?n)n(*)线性相关使使使?1,?2,…,?n线性相关01秩(?1,?2,…,?n)n02?1,?2,…,?n线性无关03秩(?1,?2,…,?n)=n04对于m维列向量组05线性相关与无关的一些判别方法：06行的情形:0701?1,?2,…,?m线性相关02?1,?2,…,?m线性无关对于n维行向量组例01解(?1?2?3)=02?1,?2,?3线性相关032?1－?2+?3=004判断向量组?1?2?3的线性相关性05只作行变换06只作行变换071只作行变换2∴?1?2?3线性相关是否线性相关.例判断向量组?1,?2,…,?n线性相关推论当向量组中所含向量的个数此向量组一定线性相关.大于向量的维数时,01r(?1,?2…?n)nr(?1,?2…,?n)当mn时02n是向量组所含向量的个数；m是其中每个向量的维数.?1,?2,…,?n线性相关例如:n维向量线性相关3个2维向量,4个3维向量线性相关.线性相关.线性相关线性相关5个3维向量n+1个2个1维向量,r(?1,?2…?n)n?1,?2,…,?n线性相关其中每个向量的维数时n个n维向量?1,?2,…,?n线性相关(?1?2…,?n)当向量组所含向量的个数=线性相关的充分必要条件是01n个n维向量02线性相关的充分必要条件是03推论n个n维向量线性无关的充分必要条件是01n个n维向量02线性无关的充分必要条件是03推论n个n维向量已知向量组k为何值时,向量组线性相关?线性无关?解线性相关.当k=3或k=-2时,向量组当k≠3且k≠-2时,向量组线性无关.课堂练习系数:不全为零线性相关中有一部分(三)关于线性组合与线性相关的定理线性相关证:设向量组定理1.(例7)如果向量组中则整个向量组也线性相关.线性相关,有一部分向量(称为部分组)线性相关.不妨设其中前r个向量存在不全为零的数k1,k2,…,kr,使至少一个不等于0如果向量组中逆否命题:如果一个向量组线性无关,中有一部分线性相关中任一部分则其任意部分组也线性无关.有一部分向量(称为部分组)线性相关,则整个向量组也线性相关.线性相关整个向量组线性无关都线性无关整个向量组01向量组?1,?2,…,?s线性相关02存在一组不全为0的数03?是向量组?1,?2,…,?s的线性组合04存在一组数05无不全为0的要求06如07?可由?1,?2线性表示.08使09使注意：s个向量存在s个不全为0的数当s=1时,1个向量?1线性相关存在1个存在k1≠0使同时k1≠0一个向量构成的向量组即一个零向量线性相关,而一个非零向量线性无关.（例4）不全为0的数k1,使线性相关使线性相关