国开2025高等数学基础形考任务3 .pdfVIP

丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。——杜甫

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国开2025高等数学基础形考任务3

一、题目概述

本文档是为国开大学2025年高等数学基础形考任务3所

编写的。该形考任务主要涉及高等数学的概念和原理，包括极

限和导数等重要内容。在本文档中，我将详细介绍这些概念和

原理，并给出相应的例题和解答，以供学生们参考。

二、极限的概念和性质

1.极限的定义

在数学中，极限是描述函数在某一点或无穷远处的行为的

概念。具体而言，设函数ᵅ(ᵅ)在ᵅ的某个邻域内有定义，如

0

果对于任意给定的正数$\\varepsilon$，都存在正数$\\delta$，

使得当ᵅ满足$0|x-x_0|\\delta$时，有$|f(x)-L|

\\varepsilon$，其中ᵅ为常数，则称ᵅ为函数ᵅ(ᵅ)在ᵅ处的极

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限，记作$\\lim_{x\\tox_0}f(x)=L$。

2.极限的性质

极限具有一些重要的性质，包括加法性、乘法性和复合性

等。

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君子忧道不忧贫。——孔丘

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•加法性：若$\\lim_{x\\tox_0}f(x)=A$，$\\lim_{x

\\tox_0}g(x)=B$，则$\\lim_{x\\tox_0}(f(x)+g(x))=A+

B$。

•乘法性：若$\\lim_{x\\tox_0}f(x)=A$，$\\lim_{x

\\tox_0}g(x)=B$，则$\\lim_{x\\tox_0}(f(x)\\cdotg(x))

=A\\cdotB$。

•复合性：若$\\lim_{x\\tox_0}f(x)=A$，$\\lim_{u

\\toA}g(u)=B$，则$\\lim_{x\\tox_0}g(f(x))=B$。

通过这些性质，我们可以对函数的极限进行运算和推导。

三、导数的定义和基本性质

1.导数的定义

导数是描述函数在某一点处的变化率的概念。对于函数

ᵅ(ᵅ)，在ᵅ处的导数定义为$\\lim_{\\Deltax\\to

0

0}\\frac{f(x_0+\\Deltax)-f(x_0)}{\\Deltax}$，可以用记号

ᵅ′(ᵅ)或$\\frac{{df(x)}}{{dx}}|_{x=x_0}$表示。

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英雄者，胸怀大志，腹有良策，有包藏宇宙之机，吞吐天地之志者也。——《三国演义》

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2.导数的基本性质

导数具有一些基本的性质，包括可微性、乘法法则和链式

法则等。

•可微性：如果函数在某一点处导数存在，则该点处

的函数是可微的。

•乘法法则：$(f\\cdotg)(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)$。

•链式法则