专题42 计数原理（解析版）.docx

专题42计数原理

【考点预测】

知识点1、分类加法计数原理

完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的办法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．

知识点2、分步乘法计数原理

完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法.

注意：两个原理及其区别

分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有类办法，这类办法之间是互斥的，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理.

分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题.如果完成某件事情有个步骤，而且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理.

当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两个计数原理.即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想求方法数.对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也是检验排列组合问题的很好方法.

知识点3、两个计数原理的综合应用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．

【题型归纳目录】

题型一：分类加法计数原理的应用

题型二：分步乘法计数原理的应用

题型三：两个计数原理的综合应用

【典例例题】

题型一：分类加法计数原理的应用

例1．（2022·上海崇明·二模）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：

（1）每位学生每天最多选择1项；

（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：

时间

周一

周二

周三

周四

周五

课后服务

音乐、阅读、

体育、编程

口语、阅读、

编程、美术

手工、阅读、

科技、体育

口语、阅读、

体育、编程

音乐、口语、

美术、科技

若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有______种．（用数值表示）

【答案】14

【解析】由题知：周一、二、三、四均可选阅读，体育在周一、三、四，

编程在周一、二、四.

①若周一选编程，则体育在周三或周四，故为种，

阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案.

②若周二选编程，则体育在周一，周三或周四，故为种，

阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案.

③若周四选编程，则体育在周一或周三，故为种，

阅读在剩下的两天中选为种，共有种方案.

综上，共有种方案.

故答案为：

例2．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（????）

A．18 B．16 C．14 D．10

【答案】C

【解析】分两类情况讨论：

第一类，从中取的元素作为横坐标，从中取的元素作为纵坐标，则第一、二象限内的点共有（个）；

第二类，从中取的元素作为纵坐标，从中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点共有（个），

由分类加法计数原理，所以所求个数为．

故选：C

例3．（2022·全国·高三专题练习）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（允许数字重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（????）

A．10 B．11 C．12 D．7

【答案】B

【解析】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：

①与信息0110只有两个对应位置上的数字相同，有（个）；

②与信息0110只有一个对应位置上的数字相同，有（个）；

③与信息0110对应位置上的数字均不相同，有1个．

综上，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有（个）．

故选：B

例4．（2022·全国·高三专题练习）现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（????）

A．7种 B．9种 C．14种 D．70种

【答案】C

【解析】分为三类:

从国画中选，有2种不同的选法;从油画中选，有5种不同的选法;从水彩画中选，有7种不同的选法，

根据分类加法计数原理，共有5+2+7=14(种)不同的选法;

故选：C

例5．（2022·全国·高三专题练习）从数字1，2，3，4中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（????）

A．7 B．9 C．10 D．13

【答案】C

【解