《计算方法》课件2第2章.ppt

2.7.2多项式拟合

所谓多项式拟合，就是对于给定的一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,N)，寻求m次多项式y=a0+a1x+…+amxm，使总误差

为最小。由，k=0,1,…,m，得m+1元线性方程组



(2.9)

解得a0,a1,…,am。2.7.3一点注记

对于准则(1)和(2)，实质上也可以解。

对于准则(1)：使残差的最大绝对值最小,可设v=max|ei|，则|ei|≤v(i=1,2,…,N)，即|yi-(a+bxi)|≤v,展开得到

(2.10)（）则准则(1)可转化为下列线性规划问题

(2.11)

上述是关于变量v，a和b的线性规划，可用单纯形方法求解。对于准则(2)：使残差的绝对值之和为最小，可设



根据假设可以得到以下结论:

(1)ui≥0,vi≥0;

(2)ui-vi=yi-(a+bxi);

(3)|yi-(a+bxi)|=ui+vi;

(4)则准则(2)问题可转化为下列线性规划问题:



(2.12)

上述问题是关于2N+2个变量a,b,ui,vi(i=1,2,…,N)的线性规划，同样可用单纯形法求解。例如，对例2.9中的问题，可使用准则(１)和准则(2)求解，过程如下：

(1)使残差的最大绝对值为最小，线性规划问题为



(2.13)解得a=2.250，b=1.333，直线为y=2.250+1.333x。

(2)使残差的绝对值之和为最小，线性规划问题为

(2.14)解得a=2.875，b=1.125，直线为y=2.875+1.125x。

三种准则的结果如图2-3所示。图2-3三种准则的结果炼钢是个氧化脱碳的过程，钢液含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短。表2-1列出了某钢铁厂10个炉次钢液的含碳量和精炼时间。2.8实例——冶炼钢中含碳量与时间模型表2-1某钢铁厂10个炉次钢液含碳量和精炼时间把表2-1中数据画在坐标纸上，数据点分布可以用一条直线近似描述，如图2-4所示，设拟合直线为y=a+bx，方程组的具体形式为





解得a=-14.9525,b=120.635。所求拟合直线方程为y=-14.9525+120.635x。图2-4精炼时间与钢液含碳量关系计算结果表明，钢水溶液的含碳量每增加0.1%，则精炼时间平均大约要延长12.06分钟。

根据回归方程，可以给出自变量的任一数值估计或预测因变量的平均可能值。例如，含碳量2.2%所需的精炼时间为

-14.9525+120.635×2.2=250.4445(分)一、填空题

(1)设x0,x1,…,xn为两两互异的节点，lj(x)为n次拉格朗日基本插值多项式，则。

(2)已知f(x)=5x5+7x4+6x2+9，则差商f(20,21,…,25)=，f(20,21,…,26)=。

(3)，

若s(x)是［0，3］上以0、1、3为节点的三次样条函数，则a=，b=。习题二二、选择题

(1)设p(x)为满足插值条件p(xi)(xi互异，i=0,1,…,n)的插值多项式，则p(x)的次数是()。

A．大于nB．小于nC．等于nD．不超过n

(2)设p(x)，N(x)是f(x)满足同一插值条件的n次拉格朗日、牛顿插值多项式，它们的插值余项分别为r(x)、R(x)，则()。A．p(x)=N(x),r(x)=R(x)B．p(x)=N(x),r(x)≠R(x)

C．p(x)≠N(x),r(x)=R(x)D．p(x)≠N(x),r(x)≠R(x)(3)已知f(x)=8x8+7x6+2x3+9，则差商f(1,2,3,4,5,6,