初中数学新人教版七年级下册第八章 实数教案（2025春）.doc

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第八章实数

8.1平方根

第1课时平方根

【素养目标】

1.掌握平方根的概念.

2.能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系.

3.培养学生的探究能力和归纳问题的能力.

【教学重点】平方根的概念和求数的平方根.

【教学难点】求数的平方根.

【教学过程】

活动一：复习回顾，提出问题

我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方.如：22=4，52=25，72=49……

反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢？

比如：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少呢？

带着这个问题，让我们走入今天的学习吧.

[教学建议]带领学生回顾常见整数的平方运算，12，22，32，…，为后面的开方运算作准备.

[设计意图]通过回顾平方运算，引入本节课学习.

活动二：问题引入，探究新知

探究点1平方根的概念和计算

（1）在前面，我们提到：“如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少呢？”请你回答这个问题.

因为32=9，所以这个数可以是3；又因为(-3)2=9，所以这个数也可以是-3.

（2）还可能是其他数吗？

不可能是其他数.因为除3，-3以外，任何一个数的平方都不等于9.

（3）填表：

x2 1 16 36 49 x ±1 ±4 ±6 ±7

[教学建议]教师引导学生作答，使学生经历观察、思考、交流、总结归纳出平方根的概念的过程，利用平方与开平方互逆揭示开平方运算的本质，培养学生用逆向思维

[设计意图]通过阅读课本、填表，引出平方根的概念，并让学生体会根据平方的意义

求出平方根.概念引入：

一般地，如果一个数x的平方等于α，即x2=α，那么这个数x叫作α的平方根或二次方根.例如3和-3是9的平方根.通常把3和-3合在一起简记为“±3”，则±3是9的平方根.

（4）求一个数的平方根的运算，叫作开平方.观察下图，你发现了什么？

平方与开平方互为逆运算.

（5）教材P40例1.

[对应训练]

教材P42练习第2题.解决问题的习惯.求一个正数的平方根的过程一般分为两步：（1）找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个；（2）根据平方根的概念写出这个正数的平方根.

[设计意图]

探究点2平方根的特征与表示方法

让我们一起观察

探究点1中的图，想一想：

（1）1,4,9的平方根分别是多少？正数的平方根有什么特点？

1，4，9的平方根分别是±1，±2，±3.正数有两个平方根，它们互为相反数.

（2）0有几个平方根？各是多少？为什么？

0只有一个平方根，是0.因为02=0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根是0.

（3）-1,-4，-9有平方根吗？为什么？

没有.正数的平方是正数，0的平方是0，负数的平方也是正数，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根.

归纳：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

概念引入：

正数α的正的平方根记为“”，读作“根号α”，α叫作被开方数；正数α的负的平方根可以用“”表示，故正数α的平方根可以用“”表示，读作“正、负根号α”.例如，表示9的平方根，=±3.特别地，0的平方根记为.

（4）只有当α大于或等于0时，α有意义；而当α小于0时，α没有意义.为什么？

因为只有正数和0有平方根，负数没有平方根.

（5）教材P41例2.

[教学建议]教师提问，学生作答，由学生归纳出平方根的特征，教师总结、订正.解题时注意：已知一个数的两个平方根，根据两个平方根互为相反数列方程求解；如果题目只是叙述两个数均为一个数的平方根，则需要分相等和互为相反数两种情况进行讨论.

用“由特殊到一般”的数学思想归纳出平方根的特征.

[对应训练]

1.教材P41练习第1题.

2.已知一个正数的两个平方根分别是2α-1和α-5，则α=2.

3.如果3x-2和5x+6都是一个非负数的平方根，求这个非负数.

解：①若3x-2和5x+6相同，则3x-2=5x+6，解得x=-4，此时3x-2=-14，（-14）2=196；②若3x-2和5x+6不同，则它们互为相反数，即3x-2+5x+6=0，解得x=-0.5，此时3x-2=-3.5，（-3.5）2=12.25.

综上可知，这个非负数是196或12.25.

活动三：重点突破，提升探究 例求下列各式中x的值：

(1)3x2=48；(2)(x+1)2=4；(3)2(x-1)2-18=0.

解:(1)原式可变形为x2=16.因为(±4)2=16，所以x=4或x=-4.

(2)因为(±2)2=4，所以x+1=2或x+1=-2，所以x=1或x=-3.

(3)原式可变形为(x-1)2=9.因为(±3)2=9，所以x-1=3或x-1=-