2025年高考数学一轮复习讲义(新高考专用)专题49直线与椭圆、双曲线(原卷版+解析).docxVIP

专题49直线与椭圆、双曲线（新高考专用）

目录

目录

【真题自测】 2

【考点突破】 3

【考点1】直线与椭圆、双曲线的位置关系 3

【考点2】中点弦及弦长问题 5

【考点3】直线与椭圆、双曲线的综合问题 7

【分层检测】 9

【基础篇】 9

【能力篇】 12

【培优篇】 12

真题自测

真题自测

一、解答题

1．（2024·全国·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．

(1)求的方程；

(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．

2．（2024·全国·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.

(1)若，求；

(2)证明：数列是公比为的等比数列；

(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.

3．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．

(1)求的方程；

(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．

4．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．

(1)求C的方程；

(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.

5．（2022·全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．

(1)求C的方程；

(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在上；②；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

6．（2022·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．

(1)求E的方程；

(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．

考点突破

考点突破

【考点1】直线与椭圆、双曲线的位置关系

一、解答题

1．（2024·安徽·三模）已知椭圆的右焦点为F，C在点处的切线l分别交直线和直线于两点．

(1)求证：直线与C相切；

(2)探究：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）椭圆的焦点为和，短轴长为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设椭圆上、下顶点分别为、，过点的直线与椭圆交于、两点（不与、两点重合）.

①求证：与的交点的纵坐标为定值；

②已知直线，求直线、、围成的三角形面积最小值.

3．（2025·广东·一模）设两点的坐标分别为.直线相交于点，且它们的斜率之积是.设点的轨迹方程为.

(1)求;

(2)不经过点的直线与曲线相交于、两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点.

4．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)若过点的直线与曲线的两条渐近线交于，两点，且为线段ST的中点.

（i）证明：直线与曲线有且仅有一个交点；

（ii）求证：是定值.

5．（2024·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点.

(1)求C的方程；

(2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围.

6．（2024·上海浦东新·三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，Ax1,y1、

(1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离；

(2)若，求直线的方程；

(3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围.

反思提升：

1.判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).

(1)当a≠0时，则Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离.

(2)当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.

2.对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.

【考点2】中点弦及弦长问题

一、解答题

1．（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，过点作两条直线，直线与交于两点，的周长为．

(1)求的方程；

(2)若的面积为，求的方程；

(3)若与交于两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．

2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线与椭圆相交于两点，为弦的中点，为坐标原点，直线的斜率记