高二数学目标清北班总结暑假第4讲.pdf

双曲线

1、双曲线的定义：

平面内与两个定点,的距离之差的绝对值等于常数(小于||且不等于

1212

零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做

双曲线的焦距．

【注意】

与定点,的距离之差的绝对值等于||时，轨迹是两条射线；大于

1212

||时，轨迹不存在；等于0时，轨迹为一条直线(的中垂线)．

1212

若定义中去掉绝对值，则轨迹是双曲线的一支．

【对比】

椭圆：平面内到两个定点距离之和(大于两点间的距离)为一个常数的点的轨迹.

双曲线：平面内到两个定点距离之差的绝对值为一个非零常数的点的轨迹.

2、求双曲线标准方程的步骤：

建系、设点、列式、化简.

()

①当双曲线的焦点在轴上，分别为−,0，(,0)时，双曲线的标准

12

22

()222

方程是−=10,0,且=+．

22

()

②当双曲线的焦点在轴上，分别为0,−，(0,)时，双曲线的标准

12

22

()222

方程是−=10,0,且=+．

22

【注意】

当双曲线焦点在轴上，在推导方程的过程中，只需要将,交换位置即可.

对比双曲线和椭圆的标准方程：椭圆的标准方程左边是平方和的形式，双

曲线的标准方程左边是平方差的形式；右边都是常数1.

22

对比双曲线标准方程的两种形式，和的系数谁是正的，焦点就在哪个

轴上．

3、双曲线的几何意义

焦点在轴上

xy

焦点的位置焦点在轴上

1

图形

2222

标准方程x−y1a=0,b0y−x1a=0,b0

22()22()

abab

到两定点、的距离之差的绝对值等于常数2，即

12

定义

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