2025年高考数学一轮复习讲义专题19利用导数研究函数的零点(原卷版+解析).docxVIP

专题19利用导数研究函数的零点（新高考专用）

目录

目录

【真题自测】 2

【考点突破】 3

【考点1】判断、证明或讨论零点的个数 3

【考点2】根据零点情况求参数范围 4

【考点3】与函数零点相关的综合问题 5

【分层检测】 7

【基础篇】 7

【能力篇】 8

【培优篇】 9

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、解答题

2．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，；

（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．

3．（2022·全国·高考真题）已知函数．

(1)当时，求的最大值；

(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．

4．（2022·全国·高考真题）已知函数．

(1)若，求a的取值范围；

(2)证明：若有两个零点，则．

5．（2022·全国·高考真题）已知函数

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．

6．（2021·全国·高考真题）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点

①；

②．

考点突破

考点突破

【考点1】判断、证明或讨论零点的个数

一、单选题

1．（2022·浙江宁波·模拟预测）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（????）

A．3 B．4 C．2或3或4或5 D．2或3或4或5或6

二、多选题

2．（2023·湖南·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（????）

A．

B．在区间上单调递增

C．将函数图象上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象

D．函数的零点个数为7

三、填空题

3．（2021·浙江·模拟预测）已知实数且，为定义在上的函数，则至多有个零点；若仅有个零点，则实数的取值范围为．

四、解答题

4．（2024·四川成都·二模）已知函数.

(1)判断的零点个数并说明理由；

(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.

5．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数.

(1)时，求的零点个数；

(2)若时，恒成立，求a的取值范围.

6．（2022·全国·模拟预测）已知函数，.

(1)当时，求证：；

(2)求函数的零点个数.

反思提升：

利用导数求函数的零点常用方法

(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.

(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.

【考点2】根据零点情况求参数范围

一、单选题

1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

2．（2021·山东聊城·二模）用符号表示不超过的最大整数，例如：，.设有3个不同的零点，，，则（????）

A．是的一个零点

B．

C．的取值范围是

D．若，则的范围是.

三、填空题

3．（2021·安徽安庆·三模）已知函数有三个零点，，，且，其中，为自然对数的底数，则的范围为．

四、解答题

4．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）设函数

(1)若时函数有三个互不相同的零点，求m的范围；

(2)若函数在内没有极值点，求a的范围；

5．（23-24高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知函数.

(1)若，求函数在处的切线方程；

(2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的范围.

6．（2023·天津滨海新·模拟预测）已知函数，.

(1)若，求的单调区间.

(2)若，且在区间上恒成立，求a的范围；

(3)若，判断函数的零点的个数.

反思提升：

1.函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，根据图象的几何直观求解.

2.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.

【考点3】与函数零点相关的综合问题

一、单选题

1．（2024·湖北·二模）已知函数（e为自然对数的底数）．则下列说法正确的是（????）

A．函数的定义域为R

B．若函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，则

C．当时，可能有三个零点

D．当时，函数的极小值大于极大值

二、多选题

2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，下列说法正确的有（?????）

A．当时，则在上单调递增

B．当时，函数有唯一极值点

C．若函数只有两个不等于1的零点，则必有

D．若函数有三个零点，则

三、填空题

3．（2024·安徽·模拟预测）对于函数，当该函数恰有两个零点时，设两个零点中最大值为，当该函数恰有四个零点时，设这四