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离散数学总结

课程大纲

1

集合论

集合的基本概念，集合运算，集合关系等

2

函数与关系

函数的概念，函数的性质，函数的分类，关系的概念，关系的性质

3

图论

图的定义，图的表示，图的遍历，图的算法等

4

树

树的定义，树的性质，二叉树，二叉树的遍历等

集合论

集合论是数学的一个基础分支，它研究集合及其运算。

基本概念

集合、元素、子集、并集、交集、补集等概念。

重要定理

德摩根定律、集合的基数、集合的映射等定理。

集合的定义及性质

定义

集合是由一些确定的、可以区分的、不重复的对象构成的整体。集合中的每个对象称为集合的元素。

表示方法

常用的集合表示方法包括枚举法、描述法、图形法等。

性质

集合具有以下重要性质：元素的确定性、元素的互异性、元素的无序性。

集合运算

并集

包含两个集合中所有元素的集合。

交集

包含两个集合中共有元素的集合。

差集

包含第一个集合中所有不在第二个集合中的元素的集合。

补集

包含全集（包含所有元素）中所有不在该集合中的元素的集合。

比较集合

子集

如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则称前者是后者的子集。

真子集

如果一个集合是另一个集合的子集，但不是自身，则称前者是后者的真子集。

交集

两个集合的交集是指包含两个集合中所有公共元素的集合。

并集

两个集合的并集是指包含两个集合中所有元素的集合。

函数与关系

函数和关系是离散数学中的重要概念，它们在计算机科学和数学中有着广泛的应用。

函数

函数是一种特殊的映射关系，它将输入映射到唯一的输出。

关系

关系是定义在两个或多个集合上的元素之间的映射关系，它可以是函数，也可以是非函数关系。

函数的定义及性质

映射关系

函数是一种特殊的映射关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。

定义域与值域

函数的定义域是所有允许输入的元素集合，而值域是所有可能输出的元素集合。

单射与满射

单射函数保证每个输出对应唯一的输入，而满射函数则保证每个输出都有对应的输入。

函数的分类

1

单射函数

每个像都只有一个原像，不会发生两个不同原像映射到同一个像的情况。

2

满射函数

每个像都有至少一个原像，所有像都被映射到，不会出现有像没有原像的情况。

3

双射函数

既是单射函数又是满射函数，每个像都有且只有一个原像，像和原像一一对应。

关系及其性质

关系定义

关系是将集合中的元素进行关联的集合。

关系性质

关系可以具有多种性质，例如自反性、对称性、反对称性和传递性。

图论

定义与概念

图论是数学的一个分支，研究的是图。图是由顶点和边组成的，用来表示物体之间的关系。

应用广泛

图论在计算机科学、物理学、社会学等领域都有广泛的应用。

图的定义及基本概念

顶点

图中的基本元素，表示图中的一个节点或对象。

边

连接两个顶点的线段，表示顶点之间的关系或连接。

有向图

边具有方向性的图，表示单向关系。

无向图

边没有方向性的图，表示双向关系。

图的表示

邻接矩阵

用一个二维数组来表示图的顶点之间的连接关系，数组的行和列分别代表图中的顶点。

邻接表

用一个数组来存储每个顶点的所有邻居，数组的索引代表顶点，每个元素都是一个链表，存储该顶点的所有邻接顶点。

边集

用一个集合来存储图的所有边，每个元素是一个包含边两个端点的集合。

图的遍历

1

深度优先有哪些信誉好的足球投注网站

从起点开始，沿着一条路径一直走到底，再回溯到上一个节点，选择另一条路径继续探索。

2

广度优先有哪些信誉好的足球投注网站

从起点开始，逐层扩展，先访问起点的所有邻居节点，再访问邻居节点的邻居节点，以此类推。

3

拓扑排序

对有向无环图（DAG）进行线性排序，使得每个节点都排在其所有前驱节点之前。

最短路径算法

迪杰斯特拉算法

适用于非负权值的图，从一个节点到其他节点的最短路径。

贝尔曼-福特算法

适用于可能有负权值的图，可以检测负权环。

A*算法

一种启发式有哪些信誉好的足球投注网站算法，通过估算距离来加速有哪些信誉好的足球投注网站。

树

树是一种非线性数据结构，它模拟了现实世界中树的结构。树由节点和边组成，节点表示数据，边表示节点之间的关系。

1

根节点

树的顶端节点，没有父节点。

2

子节点

一个节点的直接后继节点。

3

父节点

一个节点的直接前驱节点。

4

叶子节点

没有子节点的节点。

树的定义和性质

树的定义

树是一种无环连通图，它可以表示层次结构，并具有一个根节点和其他节点。

树的性质

树中没有环路。

树中节点的度数最大为n-1，其中n为节点数量。

树中的边数等于节点数减1。

二叉树

结构

每个节点最多有两个子节点，称为左子节点和右子节点。

特点

有序性：子节点的顺序很重要，左子节点和右子节点代表不同意义。

应用

二叉有哪些信誉好的足球投注网站树、二叉堆、表达式树等

二叉树的遍历

1

先序遍历

2

中序遍历

3

后序遍历

二叉树的遍历是指按照某种顺序访问树中的所有节点。常用的遍历方式有先序遍历、中