程多元函数极限与连续.pptVIP

一、Eucid空间点集相关概念（1）n维空间实数x一一对应数轴点.数组(x,y)实数全体表示直线(一维空间)一一对应平面点(x,y)全体表示平面(二维空间)数组(x,y,z)一一对应空间点(x,y,z)全体表示空间(三维空间)推广：n维数组(x1,x2,…,xn)全体称为n维空间，记为Euclid空间1在n维空间Rn上定义加法和数乘运算：2则Rn成为向量空间。3在n维向量空间Rn上定义内积运算：4（2）向量空间(i)正定性：x,x≥0,而x,x=0当且仅当x=0;(ii)对称性:x,y=y,x;(iii)线性性:ax+by,z=ax,z+by,z;(iv)Schwarz不等式:x,y2≤x,xy,y.则Rn成为Euclid空间。其中内积有如下性质：距离有下面的性质:正定性:|x-y|≥0,|x-y|=0当且仅当x=y;(ii)对称性:|x-y|=|y-x|;(iii)三角不等式:|x-z|≤|x-y|+|x-z|;（4）Euclid空间中的距离定义：一、平面点集R中邻域（1）R2邻域°°Rn中的邻域°°,存在正整数K,Limk→∞xk=a.定理:Limk→∞xk=a的充分必要条件是Limk→∞xik=ai.12345任意的成立,则称{xk}收敛于a或者a是{xk}的极限.记为定义:设{xk}是Rn中的点列,若存在Rn中的点a,使得对于Rn中点列收敛概念:（2）区域例如，即为开集．内点.内点：开集：开集.边界点：边界点.连通：连通的.开区域：连通的开集称为区域或开区域．例如，例如，闭区域：0504020301对于点集E，如果存在正数K，使一切点P∈E与某一点A间的距离|AP|不超过K，即对于一切点P∈E成立，则称E为有界点集。否则称为无界点集.有界闭区域；无界开区域．例如，BDFACE聚点说明：例如，内点一定是聚点；边界点可能是聚点,也可能不是聚点；(0,0)既是边界点也是聚点．点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,例如,(0,0)是聚点但不属于集合．边界上的点都是聚点也都属于集合．性质定理第一组:(1)x是S的聚点的充分必要条件是:存在S的点列{xk|xk∈S,xk≠x},使得Limk→∞xk=x.(2)S为闭集的充分必要条件为Sc是开集.(3)任意组开集的并是开集;(4)任意组闭集的交是开集;(5)有限个开集的交是开集;(6)有限个闭集的并是闭集;DeMorgan公式:设{Sa}是(有限或者无限)Rn中的子集合,01则02性质定理第二组:闭区间套定理11.1.6:设01是一列02矩形套，如果03则存在唯一点a∈每个△k.04二、Euclid空间基本定理Cantor闭区域套定理﹡:设1是一列2一个应用：3闭区域套，如果则存在唯一点a∈每个Sk.4Bolzano-Weierstrass定理：定理：Rn上的有界点列{xn}必有收敛子列。证明：01推论：Rn上的有界无限点集至少有一个聚点。0201定义：Rn中的点列{xn}满足：对于任意的∈0,存在正整数K，使得对任意的k,lK,成立|xl-xk|∈，称{xk}为基本列（或者Cauchy列）。02定理：Rn中的点列{xn}收敛的充分必要条件是：{xn}是基本列。Cauchy收敛原理：定义：设S是Rn的一个子集，如果Rn中的一组开集{Ua|a∈A}满足∪a∈AUa∪S，称{Ua}是S的一个开覆盖。如果S的每个开覆盖{Ua}中总存在一个有限的子覆盖，称S是紧集。01定理：S是紧集的充分必要条件是：S是有界闭集。02Heine-Borel定理：01S是有界闭集合；02S是紧集合；03S的任意无限子集在S中必有聚点。定理：设S是Rn的子集合，那么以下三个命题等价三个等价结论：Euclid:古希腊数学家，公元前330年生于雅典，代表作：几何原本，十三卷。公元前275年卒。Cantor:德国数学家，1845年生于德国，集合论的创始人。1918年卒。Weieratrass:19世纪下半叶德国数学家，生于1815年德国，数学分析大师，一是建立了实数理论，二是建立了极限理论。1897年卒。321本节涉及数学家：Augus