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安徽省淮北市相山区安徽省淮北市第一中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若集合，集合，则的非空真子集个数为（????）

A． B． C． D．

2．设向量的夹角为，定义：.若平面内互不相等的两个非零向量满足：，与的夹角为，则的最大值为（???）

A．2 B． C． D．

3．在数列中，已知，则的前10项和为（????）

A． B． C． D．

4．有5项不同的任务安排给甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一项且每项任务只安排一人完成，则分配给甲的任务不超过两项的安排方法有（????）

A．260种 B．220种 C．160种 D．130种

5．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无味、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为，则下列说法正确的是（????）

A．正八面体的体积为

B．正八面体的表面积为

C．正八面体的外接球体积为

D．正八面体的内切球表面积为

6．已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于，两点，若，则双曲线的离心率为（???）

A． B． C． D．

7．已知，若，且的最小值为，则（????）

A． B．1 C． D．2

8．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（????）

A．30 B．14 C．12 D．6

二、多选题

9．已知，，若，为纯虚数，为实数，则（????）

A． B．的虚部为 C． D．

10．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，点位于点右方，若，则下列结论一定正确的有（????）

A． B．

C． D．直线的斜率为

11．已知正方体的棱长为，，，分别是，，的中点，点为正方体表面上的一动点，则下列说法正确的是（????）

A．的面积为

B．三棱锥体积的最大值为

C．若平面，则点的轨迹长度为

D．当点为的中点时，到直线的距离为

三、填空题

12．已知，则的值为．

13．在中，角所对的边分别为，且外接圆半径为，则的最大值为.

14．若曲线与曲线存在公切线，则a的取值范围为．

四、解答题

15．已知函数．

(1)若，求的极小值；

(2)若的图象与直线切于点，求的值．

16．在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量，定义协方差为.将号码分别为1，2，3，4的4个小球等可能地放入号码分别为1，2，3，4的4个盒子中，每个盒子恰好放1个小球.

(1)求1号球不在1号盒子中，且2号球不在2号盒子中的概率；

(2)记所放小球号码与盒子号码相同的个数为，不同的个数为，求证：；

(3)结合实例，解释协方差的实际含义.

17．如图四棱锥中，平面，．

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

18．已知的两个顶点，，点G为的重心，边上的两条中线的长度之和为6，记点G的轨迹为曲线E．

(1)求曲线E的方程；

(2)若点P是曲线E上的任意一点，，，，，直线PC，PD与x轴分别交于点M，N．

①求的最大值；

②判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，求出它的最大值．

19．给定数列，，，，定义“变换”为将数列变换成，，，，其中，且这种“变换”记作，继续对数列进行“变换”，得到数列，，依此类推，当得到的数列各项为0时变换结束.

(1)求数列，4，2，9经过4次“变换”后得到的数列;

(2)证明：数列，，经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是

(3)已知数列，2，2028经过K次“变换”后得到的数列各项之和最小，求K的最小值.

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《安徽省淮北市相山区安徽省淮北市第一中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

B

C

D

D

B

A

A

ACD

ABC

题号

11

答案

ACD

1．B

【分析】先分别确定集合，，再根据交集的定义求，再根据中元素的个数确定其非空真子集的个数.

【详