线性系统理论5系统的运动稳定性.pptVIP

的指数稳定性与全局指数稳定性等价。命题线性系统5.2.2直接判据上有界，即存在正常数定理设的状态转移矩阵，则系统为：1.稳定的充要条件是2.一致稳定的充要条件是上一致有界，即存在与无关的正常数，使得为系统在，使得在4.一致渐近稳定的充要条件是存在与3.渐近稳定的充要条件是无关的正常数，使得考虑下述时变系统容易求得其状态转移矩阵为从而由定理5.2.1显见该系统为渐近稳定的。下面将考察该系统的一致渐近稳定性。据定理5.2.1，如果该系统为一致渐近稳定，则存在正数和满足也即推论5.2.1对于线性系统其一致渐近稳定性等价于指数稳定性。由于上式右端是一个正数，而左端收敛到因而为一个矛盾不等式。此即说明该系统为非一致渐近稳定的。定理5.2.2设一致渐近稳定。分段连续，则稳定。一致稳定。2.1.3.渐近稳定。4.上的一个分段连续的实对称矩阵函数，它称为是一致有界和一致正定的，如果存在正实数1定义设2为定义在3，使成立45.2.3Lyapunov定理引理5.2.1是系统收敛，且为下述矩阵微分方程是一致渐近稳定的，为其状态为一致有界，一致转移矩阵。正定的矩阵，则积分对于任何的唯一解。定理考虑线性时变系统有唯一的实对称、一致有界和一致正定的矩阵解的元均为分段连续，一致有界的实函数。则原点平衡状态为一致渐近稳定的充要条件是对任意给定的一个实对称、一致有界和一致正定的时变矩阵。为其唯一的平衡状态，Lyapunov矩阵微分方程：。推论5.2.2设一致渐近稳定。上的一致有界分段连续矩阵，且为则系统5.3线性定常系统的稳定性5.3.1直接判据与Hurwitz定理定理对于系统有以下结论：1.该系统稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有非正实部，且其具有零实部的特征值为其最小多项式的单根，也即在矩阵A的Jordan标准型中，与A的零实部特征值相关联的Jordan块均为一阶的。2.该系统渐近稳定的充要条件是矩阵的所有特征值均具有负实部。定义5.3.1设，则1.矩阵A称为Hurwitz稳定的，如果矩阵A的所有特征值均具有负实部。2.矩阵A称为临界Hurwitz稳定的，如果矩阵A是非Hurwitz稳定的，但它的所有特征值均具有非正实部，且其具有零实部的特征值为其最小多项式的单根。其所有根均在复平面左半平面的充要条件是下述行列式Hurwitz定理给定实系数多项式均大于0。这里，。第五章

系统的运动稳定性5.1Lyapunov意义下的运动稳定性5.1.1系统的运动与平衡01系统:,如果存在某个状态,满足:则称为系统的一个平衡点或平衡状态。令则为系统的平衡点的集合。中的孤立点称为系统的孤立平衡点。02例5.1.1考虑下述定常线性系统容易求得其平衡点集为显然，即为三维空间中的超平面，是一个稠密集。5.1.2Lyapunov意义下的运动稳定性定义的任一初态为Lyapunov意义下稳定的，如果对给定的任一实数定义（Lyapunov意义下的稳定性）设:为系统的一个平衡状态，称都对应地存在一个实数使得由满足不等式出发的受扰运动都满足不等式的稳定等价于一致稳定，但对时变系统，出现的受扰运动都是Lyapunov意义下为稳定的。的稳定并不意味着其为一致稳定，而且，从实际的角度而言，常要求一致稳定，以便在任一初始时刻定义（Lyapunov意义下的一致稳定性）在上述Lyapunov意义下的稳定性定义中，如果的选取无关，则进一步称平衡状态是一致稳定的。对于定常系统，的选取只依赖于而与初始时刻1、是Lyapunov意义下为稳定的，即满足上述关于稳定