惠阳区中山中学高中数学（理）导学案：空间向量的正交分解及坐标表示.docx

学必求其心得，业必贵于专精

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选修2-1第三章

3.1.4空间向量的正交分解及坐标表示

【自主学习】

先学习课本P92—P94然后开始做导学案，记住知识梳理部分的内容；

【学习目标】

理解空间向量的基底、基向量的概念；

理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示;

掌握空间向量的正交分解及其空间坐标表示.

【知识梳理】

1.空间向量基本定理：

如果三个向量，对空间任一向量，存在有序实数组,使得.

2。空间的一个基底：空间任何三个的向量叫做空间的一个基底。都叫做。

xyzOQP3.

x

y

z

O

Q

P

则这个基底叫做单位正交基底,通常用{}或｛｝表示。

4。空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O—xyz和向量，

且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在唯一

的有序实数组，使得，则称有序

实数组为向量的坐标,记着。

【预习自测】

1.对于不共面的三个向量，若，则＝______,y＝______,z＝______．

2。设，则向量的坐标为。

3。正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,则点，的坐标分别是,,.

4。如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中,点M为CC1的中点，,

若则x＝______，y＝______，z＝______。

3.1.4空间向量的正交分解及坐标表示

【课堂检测】

1、若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（）

A.B.C.D.

2、已知点A在基底｛a，b，c}下的坐标为（8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i,则点A在基底｛i,j，k}下的坐标是（）

A．(12,14，10）B．（10,12,14)

C．（14,12,10）D．(4,3,2)

3、已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，＝xeq\o（AB，\s\up6（→）)＋yeq\o（BC，\s\up6(→）)＋zeq\o(CC1,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝________。

【拓展探究】

探究一：如图所示,在正方体中，点上底面

中心，求下列各式中的的值。

（1);(2）

探究二:如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，

，试用基底表示

【当堂训练】

O、A、B、C为空间四点，且向量不能构成空间的一个基底，则（）

共线B。共线C。共线D。O、A、B、C四点共面

已知A（3，4,5）,B（0，2,1）,O（0，0，0),若,则C的坐标________

已知点A在基底下的坐标为(8，6,4)，其中，则点A在基底下的坐标是.

在以下三个命题，真命题的个数。

（1）三个非零向量不能构成空间的一个基底，则共面；（2）若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线;（3）若是两个不共线的向量，而且，则构成空间的一个基底.

小结与反馈：

不共面的三个向量可以作为一组基底子；

注意正交基底到直角坐标系的转换。

【课后拓展】

1。设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且，若A为原点则点B的坐标是

2.已知（)

3．已知O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量

向量中能与构成空间基向量的是______．

4．已知是空间的一个基底,从以下向量,中选出三个向量，使它们构成空间的基底，请你写出这个空间中的三组基底______．

5．如图，已知空间四边形，其对角线,分别是对边的中点,点、是线段的三等分点，用基底向量表示向量、

B

B

O

A

C

H

N

M

G