国家开放大学2025春(202507)《2025高等代数专题研究》期末考试真题及答.pdfVIP

非淡泊无以明志，非宁静无以致远。——诸葛亮

·····2025

国家开放大学2025年春季学期期末统一考试

高等代数专题研究试题答案及评分标准

（供参考）

2025年7月

一、单项选择题(本题共2()分，每小题4分）

1.D2.C3.C4.D5.B

二、填空题(本题共2()分，每小题4分）

6.1

7.4

8.ᵃᵄ=ᵰᵄ

9.对称矩阵

10.非退化（可逆）

三、计算题（本题共45分，每小题15分）

11.解：ᵄ=1.ᵄ=12.可能的有理根是±1，±2，±3，±4，±6，±

40

12.……（5分）

()()()()()()

因为ᵅ±1≠0,ᵅ±3≠0,ᵅ±4≠0,ᵅ±6≠0,ᵅ±12≠0,ᵅ−2≠0

故±1.−2.±3.±4.±6.±12都不是根.

()()

而ᵅ2=0.故2是ᵅᵆ的根.……(10分）

()

用综合除法验证.2是ᵅᵆ的二重根.……（15分）

12.解：把α,α,α,α写成列向量组成矩阵A,对A进行初等行变换，化成阶梯

1234

形矩阵：

1−2−111−2−11

−11010−1−12

ᵃ=[]→[].……（10分）

101−2022−3

022−4022−4

由此可知α,α,α是ᵄ的一组基.dimᵄ=3.……（15分）

124

1ᵰ−1

13.解：该二次型的矩阵为A=[ᵰ42].（5分）

−124

利用A是正定实对称矩阵的充分必要条件是它的各阶顺序主子式都大于零，可

得

1ᵰ−1

1ᵰ

222

[]=4−ᵰ0,[ᵰ42]=−4ᵰ−4ᵰ+80……（15分）

ᵰ4

−124

解得−2ᵰ1.……（15分）

四、证明题（本题15分）

−1

14.证明：必要性.若实对称矩阵ᵃ与ᵃ相似，则存在可逆矩阵ᵄ,使得ᵃ=ᵄᵃᵄ.

由此可得