案例：二面角及平面与平面垂直的判定.pdf

8.6.4平面与平面所成角（二面角）

平面与平面垂直的判定

一.平面与平面所成角（二面角）

与直线与直线所成角相似——我们通过“直线与直线所成角”的定义、量度，来刻画空间

中两条直线的一种位置关系，我们接下来定义平面与平面所成角——二面角．

平面内一条直线把平面分成两个部分，这两个部分称为

Q半平面平面之于半平面，类似直线之于射线．．

βB二面角是从一条直线出发的两个半平面组成的图形．

相当于平面中，从一个点出发的两条射线组成的角．

P

Al这条直线叫做二面角的棱，

α两个半平面叫做二面角的面．

如左图，棱为AB，面为α，β的二面角记作α-AB-β．

如果P∈α，Q∈β，我们更常用的记法为--．

我们有了二面角的定义，但二面角如何度量其大小呢？

日常生活中，我们常说“把门开大一些”．

这里的“大”是对什么的度量呢？

在棱AB任上取一点O，QγB

β

过点O平面作γ，AB⊥γ，∠QOP

O

α∩γ=OP，β∩γ=OQ，

lP

于是得到射线OP，OQ．Aα

射线OP和OQ构成的∠POQ叫做二面角的平面角．

事实上，因为AB⊥γ，OP，OQ⊂γ，所以OP⊥AB，OQ⊥AB．

所以，我们就通常在二面角的两个半平面内，过二面角的棱上一点O，作二面角的

（射线）OP，OQ，这两条射线所成的角∠POQ，就是二面角的平面角．线线角α∈0°,90°

现在，二面角的大小可以用它的平面角来度量了！！！线面角α∈0°,90°

容易看出，二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°．

平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角α∈0°,180°

二.平面与平面垂直

就像我们通过两直线所成角为90°，定义直线与直线垂直一样，

平面与平面垂直的定义：

如果两个平面相交，它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直．

平面α与β垂直，记作α⊥β．

Q

γ

βBββ

O

lP

Aααα

有了两个平面垂直的定义，我们接下来研究两个平面垂直的判定性质和．

本节课，我们先研究两个平面垂直的判定．

如图，建筑工人在砌墙时，常用铅垂来检测所砌的墙面与地面是否垂直．

如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则就认为

墙面不垂直于地面．

这种方法告诉我们，

如果墙面经过一条地面的垂线，那么墙面与地面垂直．证明