角平分线（第1课时）课件北师大版数学八年级下册.pptx

1.4角平分线（第1课时）1.掌握角平分线的性质定理及其逆定理,会用这两个定理解决一些简单问题;2.能证明角平分线的性质定理和判定定理.

角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？角平分线的性质是什么？知识回顾

知识回顾通过折叠测量，猜测P1D=P1EP2F=P2G结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等．

角平分线的性质已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:PD=PE.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.∵∠1=∠2,OP=OP,∴△PDO≌△PEO(AAS),∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).

角平分线的性质1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2.应用格式：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB,∴PD＝PE.

角平分线的性质3.定理应用所具备的条件：(1)角的平分线；(2)点在该平分线上；(3)垂直距离.4.定理的作用：证明线段相等.

角平分线的判定逆命题：在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.说出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?

证明：∵PD丄OA,PE丄OB,∴∠ODP＝∠OEP＝90°，∵PD＝PE，OP＝OP，∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL).∴∠1＝∠2(全等三角形的对应角相等).∴OP平分∠AOB.角平分线的判定已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D，E，且PD=PE.求证：OP平分∠AOB

角平分线的判定判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．应用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．

解：∵DE丄AB,DF丄AC，DE＝DF，∴AD平分∠BAC∵∠BAC＝60°∴∠BAD＝30°∴DE=5例1如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE丄AB，DF丄AC，垂足分别为E，F，DE＝DF，求DE的长.

例2如图,已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F,求证：点F在∠DAE的平分线上．证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC.∴FG＝FM.同理：∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴点F在∠DAE的平分线上.

1.如图,P是∠AOB的平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D,若PD=4,则点P到边OA的距离是.4

2.如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是30cm2，AB=18cm,BC=12cm，则DE=______cm.2

3.如图,P为射线OC上的一点,PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为M,N,PM=PN,∠BOC=20°,则∠AOB=°.40

4.已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于点E，F，G分别是OA，OB上的点，且PF=PG，DF=EG.求证：OC是∠AOB的平分线.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDF=∠PEG=90°.∵PF=PG,DF=EG,∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴PD=PE.∵P是OC上点,PD⊥OA,PE⊥OB,∴OC是∠AOB的平分线.

5.感知:如图①,AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°,∠B=90°,易知DB=DC.探究:如图②,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD90°,求证:DB=DC.

探究:如图②,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD90°,求证:DB=DC.证明:如图②,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC,交AC的延长线于点F.∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.∵∠B+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°,∴∠B=∠FCD.∵∠DEB=∠F=90°,∠B=∠FCD,DE=DF,∴△DEB≌△DFC,∴DB=DC.

(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．角的平分线的性质与判定定理的关系：(2)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离相等的点，都应在角的平分线上．

线段垂直平分线的性质定理中“距离”是两点之间的距离；而角平分线的性质定理中的“距离”指的是点到线的距离；因此角平分线性质定理中才要求过点作角的两边的垂线.角的平分线与垂直平分线的区别：