专题62：基本不等式-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）（原卷版）_1.docx

专题62：基本不等式

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：

(1)对称性：(2)传递性：

(3)加法法则：；(同向可加)

(4)乘法法则：；

(同向同正可乘)

倒数法则：

(6)乘方法则：

(7)开方法则：

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）

3、应用不等式性质证明不等式

例1：1．（2018·全国·高考真题（理））设，，则

A． B．

C． D．

2．（2016·浙江·高考真题（文））已知a，b＞0，且a≠1，b≠1.若，则

A．

B．

C．

D．

3．（多选）（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（???????）

A． B．

C． D．

举一反三

1．（2016·全国·高考真题（理））若，，则

A． B． C． D．

2．（2015·浙江·高考真题（文））设，是实数，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（2014·四川·高考真题（文））若则一定有

A． B． C． D．

4．（2017·北京·高考真题（文））能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.

（二）解不等式

1、一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解集：

设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：

二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

例2：1．（2015·天津·高考真题（理））设，则“”是“”的（???????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（2015·江苏·高考真题）不等式的解集为________.

举一反三

1．（2019·天津·高考真题（文））设，使不等式成立的的取值范围为__________.

2．（2015·广东·高考真题（文））不等式的解集为_________．（用区间表示）

2、简单的一元高次不等式的解法：

标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。

例3：1．（2020·浙江·高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（???????）

A．a0 B．a0 C．b0 D．b0

举一反三

1．（2022·贵州遵义·三模（理））满足不等式整数解个数为（???????）

A．4950 B．5000 C．5050 D．5100

3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

例4：1．（2022·天津市新华中学模拟预测）设，则“”是“”的（???????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

举一反三

1．（2017·上海·高考真题）不等式的解集为________

2．（2022·广东·华南师大附中三模）当时，成立，则实数a的取值范围是____________．

4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上

若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上

例5：1．（2014·江苏·高考真题）已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为.

举一反三

1.（2018·天津·高考真题（文））已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．

（四）基本不等式

1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.

2．如果a,b是正数，那么

变形：有:a+b≥；ab≤,当且仅当a=b时取等号.

3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值;

如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.

注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用)；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）