2025年自学考试线性代数经管类重点难点解析与实战演练.doc

线性代数（经管类）综合试題一

（課程代码4184）

一、单项选择題（本大題共10小題，每題2分，共20分）

在每題列出的四个备选项中只有一种是符合題目规定的，請将其代码填写在題后的括号内。錯选、多选或未选均无分。

1.设D==M≠0，则D1==

(B)．

A.－2MB.2MC.－6MD.6M

2.设A、B、C為同阶方阵，若由AB=AC必能推出B=C，则A应满足(D)．

A.A≠OB.A=OC.|A|=0D.|A|≠0

3.设A，B均為n阶方阵，则(A)．

A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)2=A2+2AB+B2

C.当AB=O時，有A=O或B=OD.(AB)-1=B-1A-1

4.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1=(B)．

A.B.C.D.

5.设两个向量组与，则下列說法对的的是(B)．

A.若两向量组等价，则s=t.

B.若两向量组等价，则r()=r()

C.若s=t，则两向量组等价.

D.若r()=r()，则两向量组等价.

6.向量组线性有关的充足必要条件是(C)．

A.中至少有一种零向量

B.中至少有两个向量对应分量成比例

C.中至少有一种向量可由其他向量线性表达

D.可由线性表达

7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是(C)．

A.r与s未必相等B.r+s=m

C.r=sD.r+sm

8.对方程组Ax=b与其导出组Ax=o，下列命題对的的是(D)．

A.Ax=o有解時，Ax=b必有解.

B.Ax=o有无穷多解時，Ax=b有无穷多解.

C.Ax=b无解時，Ax=o也无解.

D.Ax=b有惟一解時，Ax=o只有零解.

9.设方程组有非零解，则k=(D)．

A.2B.3C.-1D.1

10.n阶对称矩阵A正定的充足必要条件是(D)．

A.|A|0B.存在n阶方阵C使A=CTC

C.负惯性指标為零D.各阶次序主子式均為正数

二、填空題（本大題共10小題，每題2分，共20分）請在每題的空格中填上对的答案。錯填、不填均无分。

11.四阶行列式D中第3列元素依次為-1，2，0，1，它們的余子式的值依次為5，3，-7，4，则D=-15．

12.若方阵A满足A2=A，且A≠E，则|A|=0.

13.若A為3阶方阵，且，则|2A|=4．

14.设矩阵的秩為2，则t=-3．

15.设向量＝(6，8，0)，=(4，–3，5)，则(,)=0．

16.设n元齐次线性方程组Ax=o，r(A)=rn，则基础解系具有解向量的个数為n-r个.

17.设＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，=(0，0，1)是R3的基，则=(1，2，3)在此基下的坐标為(1,1,2).

18.设A為三阶方阵，其特性值為1，-1，2，则A2的特性值為1,1,4.

19.二次型的矩阵A=.

20.若矩阵A与B=相似，则A的特性值為1,2,3.

三、计算題（本大題共6小題，每題9分，共54分）

21.求行列式的值.

解：=

.

22.解矩阵方程：.

解：令B=.

由于

.

由

23.求向量组=(1,1,2,3)，=(－1,－1,1,1)，=(1,3,3,5)，=(4,－2,5,6)的秩和一种极大线性无关组，并将其他向量用该极大无关组线性表达.

因此，

a取何值時，方程组有解？并求其通解（规定用它的一种特解和导出组的基础解系表达）.

解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：

.

若方程组有解，则，故a=5.

当a=5時，继续施以初等行变换得：，原方程组的同解方程组為：，令，

得原方程组的一种特解：与导出组同解的方程组為：令得到导出组的基础解系：，因此，方程组的所有解為：

25.已知,求A的特性值及特性向量，并判断A能否对角化，