第4节复数向量三角综合教师版.docx

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第4节复数三角综合复习

题型汇总：

复数运算及三角式

三角和向量综合

一、知识点：

1.复数的概念

（1）叫虚数单位，满足，当时，．

（2）形如的数叫复数，记作．

=1\*GB3①复数与复平面上的点一一对应，叫的实部，叫的虚部；点组成实轴；叫虚数；且，叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．

=2\*GB3②两个复数相等（两复数对应同一点）

=3\*GB3③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．

2.复数的运算法则

（1）

（2）

其中，叫z的模；是的共轭复数．

（3）．

实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．

3.复数的几何意义

（1）复数对应平面内的点；

（2）复数对应平面向量；

（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．

（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．

注意：复数加、减法的几何意义

以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．

二、题型：

题型1.复数运算

例1.（2023春·全国·高一专题练习）设，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】设，则，则，

所以，，解得，因此，.

故选：C.

【变式11】.（2024春·高一课时练习）若复数，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题得，

所以.

故选：C

【变式12】.（2024·高一单元测试）已知为实数，且(为虚数单位)，则（??）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

由题意知，解得，所以

故选：A

【变式13】．（多选）已知复数，则下列叙述正确的是

A．的虚部为

B．在复平面内对应的点位于第一象限

C．

D．

【解答】解：，

则的虚部为2，故错误，

在复平面内对应的点位于第一象限，故正确，

，则，故正确，

，故错误．

故选：．

题型2.复数三角形式

（1）复数的三角表示式

一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．

（2）辐角的主值

任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．

（3）三角形式下的两个复数相等

两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．

（4）复数三角形式的乘法运算

①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即

．

②复数乘法运算的三角表示的几何意义

复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．

（5）复数三角形式的除法运算

两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．

例2.（2023·江苏·高一专题练习）复数的三角形式是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

，

故选：C.

【变式21】.（2023·全国·高一专题练习）已知为虚数单位，，，则等于（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】，

.

故选：D.

【变式22】.（2024·高一课时练习）设复数和的辐角主值分别为和，则等于（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：依题意复数和的辐角主值分别为和

所以，，，

所以

因为，，所以

所以

故选：C

【点睛】本题考查辐角的概念，两角和的余弦公式的应用，属于中档题.

例3.（2024·高一课时练习）瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和数字0）联系到了一起，若表示的复数对应的点在第二象限，则可以为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】得，

当时，，复数对应的点在第一象限；

当时，，复数对应的点在第二象限；

当时，，复数对应的点在轴上；

当时，，复数对应的点在第四象限；

故选：B．

【变式31】.（2023·全国·高一专题练习）棣莫弗公式（其中为虚