2023年江苏省南京市中华中学高三上学期期中数学试卷和参考答案.docx

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2023-2024学年高三年级第一学期期中学情检测

高三数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的．

1.设复数满足，则（）

A.2 B. C.1 D.4

2.已知集合，或，则（）

A. B.

C. D.

3.黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的，两段，使得长线段与原线段的比等于短线段与长线段的比，即，其比值约为0.618339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（）

A.180 B.210 C.240 D.360

4.抛物线的焦点为F，点P在双曲线C：的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（）

A.1 B. C.或 D.或

5.在△ABC中，．P为△ABC所在平面内的动点，且，则的取值范围是（????）

A. B.

C. D.

6.若直线：平分圆的面积，则的最小值为（）.

A.6 B.8 C.4 D.

7.已知函数，则图象上关于轴对称的点共有（）

A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

8.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分．

9.下列说法正确的是（）

A.线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强

B.数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10

C.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据概率值，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05

D.某校共有男女学生1500人，现按性别采用分层抽样方法抽取容量为100人的样本，若样本中男生有55人，则该校女生人数是675

10.设是公差为d的等差数列，是其前n项的和，且，，则（）

A. B. C. D.

11.在正方体中，，G为C1D1的中点，点P在线段B1C上运动，点Q在棱C1C上运动，M为空间中任意一点，则下列结论正确的有（）

A.直线平面A1C1D

B.的最小值为

C.异面直线AP与A1D所成角的取值范围是

D.当时，三棱锥体积最大时其外接球的表面积为

12.已知定义在上的函数的图象关于直线对称，函数的图象关于点中心对称，则下列说法正确的是（）

A. B.8是函数的一个周期

C. D.

三、填空题：共4小题，每题5分，共20分．

13.已知的展开式中的系数为，则________．

14.已知，则_________．

15.某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率_________．（结果用分数表示）

附参考数据：，.

16.若，则实数最大值为______.

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余题目为12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知数列的前项积为，且.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）证明：.

18.某校在一次庆祝活动中，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向，两个目标投掷，先向目标掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标概率为，套中目标的概率为，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为．

（1）求小明恰好套中2次的概率；

（2）求的分布列及数学期望．

19.法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”．在中，内角的对边分别为，且，以，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为．若，的面积为，求的面积．

20.如图所示，四棱锥中，底面为菱形，.

（1）证明：面；

（2）线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，指出点位置；若不存在，请说明理由.

21.已知椭圆C：离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）我们称圆心在椭圆C上运动，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”，过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A，B