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北京市八一学校2025届高三下学期开学摸底测试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若集合，或，则（????）

A． B． C． D．

2．设，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．双曲线的左焦点的坐标为（????）

A．(-2,0) B． C． D．

4．已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则

A．1 B．2 C．3 D．4

5．已知圆，直线过，若被圆所截得的弦长最小值为2，则（????）

A． B． C． D．

6．已知抛物线的焦点为，点在上．若是坐标原点，，则（????）

A． B． C． D．

7．充电电池是电动汽车的核心部件之一，如何提高充电速度是电池制造商重点关注的研究方向已知电池充入的电量E（单位：）与充电时间t（单位：）满足函数，其中M表示电池的容量，k表示电池的充电效率，研究人员对A，B两个型号的电池进行充电测试，电池A的容量为，充电充入了的电量；电池B的容量为，充电充入了的电量.设电池A的充电效率为，电池B的充电效率为，则（????）

A． B． C． D．大小关系无法确定

8．在中，，且，则取最小值时的值为（????）

A． B． C． D．

9．羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是6cm，底部所围成圆的直径是2cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为（????）

A． B． C． D．

10．设无穷等差数列的公差为，集合.则（????）

A．不可能有无数个元素

B．当且仅当时，只有1个元素

C．当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为

D．当时，最多有个元素，且这个元素的和为0

二、填空题

11．复数（i是虚数单位）的虚部是．

12．展开式中的常数项为．

13．在?ABC中，，且，则.

14．已知函数，对任意，都有成立，则a的取值范围是．

15．正方体的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面上，且平面.

（Ⅰ）当点M与点C重合时，线段AP的长度为；

（Ⅱ）线段AP长度的最小值为.

三、解答题

16．在锐角中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，已知，再从条件①?条件②?条件③这三个条件中选择两个作为已知，求与的值.

条件①：；条件②：；条件③：.

17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，在棱上取点，使得平面.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

(3)求直线到平面的距离.

18．某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得分，投放错误得分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分．从所有参赛选手中随机抽取人，将他们的得分按照，，，，分组，绘成频率分布直方图如图：

（1）分别求出所抽取的人中得分落在组和内的人数；

（2）从所抽取的人中得分落在组的选手中随机选取名选手，以表示这名选手中得分不超过分的人数，求的分布列和数学期望；

（3）如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．

19．已知函数

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）当时，设，求证：曲线存在两条斜率为且不重合的切线.

20．已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C离心率为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM，BN交于点Q，求证：点Q在直线上．

21．设数列：，已知，定义数表，其中.

(1)若，写出；

(2)若A，B是不同的数列，求证：数表满足“”的充分必要条件为“”；

(3)若数列A与B中的1共有n个，求证：数表中1的个数不大于．

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