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北京市第二中学2025届高三下学期开学测试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，集合，若，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

2．已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点到轴的距离为

A． B．1 C．2 D．4

3．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（????）．

A． B． C． D．

4．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（????）

A． B． C． D．

5．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙.大老鼠第一天打进尺，以后每天进度是前一天的倍.小老鼠第一天也打进尺，以后每天进度是前一天的一半.如果墙的厚度为尺，则两鼠穿透此墙至少在第（????）

A．天 B．天 C．天 D．天

6．已知直线，为圆上一动点，设到直线距离的最大值为，当最大时，的值为（????）

A． B． C． D．

7．已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过天后，用户人数，其中为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（????）（本题取）

A．31 B．32 C．33 D．34

9．长方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

10．已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取值范围

A． B． C． D．

二、填空题

11．在二项式的展开式中，的系数为．

12．已知两点．点满足，则的面积是；的一个取值为．

13．已知为等腰直角三角形，，圆M为的外接圆，，则；若P为圆M上的动点，则的取值范围为．

14．若函数存在最小值，则的最大值为.

15．在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：

①；

②；

③，使得当时，总有

④，使得当时，总有．

其中，所有正确结论的序号是

三、解答题

16．中，内角，，所对的边分别为，已知的面积为，，．

（1）求和的值；

（2）求的值．

17．某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图：

专家

A????

B????

C????

D????

E????

评分

9.6??

9.5??

9.6??

8.9??

9.7??

（1）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；

（2）从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求E（X）与E（Y）的值；

（3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分．请直接写出与的大小关系．

18．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，点F为的中点．

(1)已知点G为线段的中点，求证：CF∥平面；

(2)若，直线与平面所成的角为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择几个作为已知，使四棱锥唯一确定，求：

（ⅰ）直线到平面的距离；

（ⅱ）二面角的余弦值．

条件①：平面；

条件②：；

条件③：平面平面．

19．已知椭圆.

（Ⅰ）若椭圆的离心率为，求的值；

（Ⅱ）若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

20．已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若在区间上恒成立，求的取值范围；

(3)试比较与的大小，并说明理由．

21．设n为不小于3的正整数，集合，对于集合中的任意元素，记

（Ⅰ）当时