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§9.4线性微分方程

我们将方程

yP(x)yQ(x)yR(x)(1)

称为二阶线性微分方程(关于都y是,y一次,y的)

若R(x)=0,则方程

yP(x)yQ(x)y0(2)

称为二阶线性齐次微分方程.同样如果R(x)0,

称方程(1)为二阶线性非齐次微分方程

若P(x)=p,Q(x)=q(p,q为常数)

则方程(1)为ypyqyR(x)(3)

ypyqyR(x)(3)

方程(3)称为二阶线性常系数微分方程

同样地,如果R(x)=0,即

ypyqy0(4)

称方程(4)为二阶线性常系数齐次微分方程

否则若R(x)0,称方程(3)为二阶线性常

系数非齐次微分方程

1º二阶线性微分方程解的结构

设P(x),Q(x),R(x)在[a,b]上连续,下面我们

讨论方程(1),(2)解的性质

性质1(齐次方程解的叠加性)(线性性质)

如果y1(x),y2(x)是齐次方程(2)的解,则对任意

常数c1,c2R,

y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)

也是方程(2)的解

证明因为

y(x)c1y1(x)c2y2(x),

y(x)c1y1(x)c2y2(x),

c1y1c2y2P(x)(c1y1c2y2)Q(x)(c1y1c2y2)

c1(y1P(x)y1Q(x)y1)

c2(y2P(x)y2Q(x)y2)0

是方程(2)的解

y(x)c1y1(x)c2y2(x)

问题是否为方程

:y(x)c1y1(x)c2y2(x)(2)

的通解?

若y1(x)与y2(x)成线性关系,即存在常数LR使

y1(x)Ly2(x)

则

y(x)c1y1(x)c2y2(x)

c1Ly2(x)c2y2(x)

(c1Lc2)y2(x)cy2(x)

此时不是方程的通解

y(x)c1y1(x)c2y2(x)(2)

定义对于[a,b]上的两个函数y1(x),y2(x),若其

中之一是另一个的常数倍,即存在常数L使

y1(x)Ly2(x)

则称函数y1(x),y2(x)在[a,b]上线性相关,否则

称y1(x),y2(x)在[a,b]上线性无关

说明33由于

:(1)y1sinx,y2cosx,

y(x)

1tan2xL

y2(x)

33在任意区间上都是线性无关

y1sinx,y2cosx

由于3

y1(x)3y2(x)y1lnx,y2lnx

在任一区间上都是线性相关的

定理1(二阶线性齐次方程解的结构)

如果y1(x),y2(x)