专题49：离散随机变量的均值与方差-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）（解析版）_1.docx

专题49：离散随机变量的均值与方差

精讲温故知新

离散随机变量的均值（数学期望）

一般地，随机变量X的概率分布列为

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

则称

为X的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

1．若，其中a，b为常数，则Y也是变量

Y

…

…

P

p1

p2

…

pi

…

pn

则，即

2．一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么

即若X服从两点分布，则

若，则

例1：1．（2022·湖南·模拟预测）第24届冬季奥林四克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行．某特许产品100件，其中一等品98件，二等品2件，从中不放回的依次抽取10件产品（每次抽取1件）．甲表示事件“第一次取出的是一等品”，乙表示事件“第二次取出的是二等品”，记取出的二等品件数为X，则下列结论正确的是（???????）

A．甲与乙相互独立 B．甲与乙互斥

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据事件独立性和互斥性的定义和性质以及二项分布和超几何分布的性质逐项判断.

【详解】

解：由题意得：

对于选项A：事件甲发生与否影响事件乙的发生，故事件甲与乙不相互独立，故A错误；

对于选项B：事件甲事件乙可能同时发生，故B错误；

对于选项C，D：由条件知随机变量X服从超几何分布，且，故C错误，D正确．

故选：D．

2．（2022·山东日照·模拟预测）一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和个黑球，现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若，则______．

【答案】2

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式计算作答.

【详解】

有放回的摸取4次，每次随机摸取一球是白球的概率相等，设为p，而摸取1次即为一次试验，只有两个不同结果，

因此，，则，解得，

所以.

故答案为：2

3．（2022·浙江·高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________．

【答案】????，????##

【解析】

【分析】

利用古典概型概率公式求，由条件求分布列，再由期望公式求其期望.

【详解】

从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以，

由已知可得的取值有1，2，3，4，

，，

，

???????所以,

故答案为：，.

4．（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．

(1)求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，.

【解析】

【分析】

（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；

（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．

(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为

．

(2)依题可知，的可能取值为，所以，

,

，

，

.

即的分布列为

0

10

20

30

0.16

0.44

0.34

0.06

期望.

举一反三

1．（2022·山东潍坊·模拟预测）Poisson分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是Poisson分布的均值．当二项分布的n很大而p很小时，Poisson分布可作为二项分布的近似．假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率是（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

结合题意，，此时Poisson分布满足二项分布的近似条件，再计算二项分布的均值为Poisson分布的均值，再代入公式先求不致死的概率，再用对立事件的概率和为1计算即可

【详解】

由题，，，此时Poisson分布满足二项分布的近似的条件，此时，故不致死的概率为，故致死的概率为

故选：A

2．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冰雪运动和现代科技特点．冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计