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第五节柯西积分公式一、问题的提出二、柯西积分公式三、典型例题四、小结与思考1

一、问题的提出如果我们测得地球外表各点的温度，能否测得地心的温度？如何测？分析2

DCz0C13

DCz0C1∴猜测积分4

定理(Cauchy积分公式)证明5

6

上不等式说明,只要R足够小,左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知,左端积分的值与R无关,所以只有在对所有的R积分值为零时才有可能.[证毕]柯西积分公式7

关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.(这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.8

例解由柯西积分公式三、典型例题9

例解由柯西积分公式10

例解根据柯西积分公式知,11

例解根据柯西积分公式知,12

比较两式得13

第六节高阶导数主要定理典型例题14

形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明。15

主要定理定理证16

根据导数的定义,从柯西积分公式得17

18

19

再利用以上方法求极限20

至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推,利用数学归纳法可证[证毕]高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.21

例解22

23

例解由柯西－古萨根本定理得由柯西积分公式得24

25

例解26

根据复合闭路定理和高阶导数公式,27

28

例5(Morera定理)证依题意可知29

参照本章第四节定理二,可证明因为解析函数的导数仍为解析函数,30

例6证不等式即证.31

第七节解析函数与调和函数的关系一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系三、小结与思考32

一、调和函数的定义定义调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.33

二、解析函数与调和函数的关系1.两者的关系定理任何在区域D内解析的函数,它的实部和虚部都是D内的调和函数.证34

根据解析函数高阶导数定理,[证毕]35

2.共轭调和函数的定义区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.36

例1解37

凑全微分法38

又解偏积分法39

又解不定积分法40

例解根据调和函数的定义可得41

所求解析函数为42

例解两边同时求导数所以上面两式分别相加减可得43

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四、小结与思考柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西–古萨根本定理,它的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数的重要工具.柯西积分公式:45

思考题柯西积分公式是对有界区域而言的,能否推广到无界区域中?46

思考题答案可以.其中积分方向应是顺时针方向.放映结束，按Esc退出.47