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高一数学竞赛试题

时间：8:30-11:00总分：150分

一、填空题〔本大题共15小题，每题5分，共75分〕

1、如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，假设QC＝1，CD＝3，那么PB＝________。

xyo2、假设函数为偶函数，那么。

x

y

o

3、函数的图像如下图，那么0，0，0。

4、，那么。

5、函数那么的单调递减区间为。

6、假设方程有负实数根，那么的取值范围是。

7、设函数，那么满足的的取值范围是。

8、设集合，那么集合A的所有非空子集元素和的和为。

9、设函数的图像与的图像关于对称，且，那么。

10、实数满足，那么。

11、函数满足：，那么。

12、定义在R上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，那么，的大小关系是。〔从大到小书写〕

13、设，满足，那么这样的函数个数共有个。

14、设函数，

=1\*GB2⑴假设，那么的最小值为；

=2\*GB2⑵假设恰有2个零点，那么实数的取值范围是。

15、函数。设

其中表示中的较大值,表示中的较小值,记得最小值为得最小值为,那么。

二、解答题〔本大题共6小题，共75分〕

16〔12分〕、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.

(1)证明：∠D＝∠E；

(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形。

17〔12分〕、某地区上年度电价为，年用电量为，本年度方案将电价降到之间，而用户的期望电价为，经测算，下调电价后，新增加用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比〔反比例系数为〕，该地区电力的本钱价为。

=1\*GB2⑴写出本年度电价下调后，电力部门的收益与实际电价的关系式；

=2\*GB2⑵设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增加。

18〔12分〕、=1\*GB2⑴求函数的最小值；

=2\*GB2⑵求函数的最小值；

=3\*GB2⑶求函数的最小值；

=4\*GB2⑷归纳上述规律，写出函数的最小值。〔直接写结果，不用写过程〕

19〔13分〕、设函数，集合

=1\*GB2⑴证明：；=2\*GB2⑵当时，求集合B。

20〔13分〕、在一次数学竞赛中，共出甲，乙，丙三题。在所有25个参赛的学生中，每个学生至少解出一题，在所有没有解出甲题的学生中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的两倍，只解出甲题的学生比余下的学生中解出甲题的学生的人数多1，只解出一题的学生中，有一半没有解出甲题，问共有多少学生只解出乙题？

21〔13分〕、设为实数，函数在区间上的最大值记为，求的最小值。

高一数学竞赛答案〔仅供参考〕

一、填空题

1、提示：由切线长定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，解得QA＝2.故PB＝PA＝2QA＝4；

2、提示：为奇函数，所以；

3、提示：由定义域得，由函数值符号得，由函数零点得；

4、提示：由；

5、或提示：根据复合函数单调性：或；

6、提示：令，转化到方程在上有根；

7、提示：即；

8、提示：在所有子集中均出现次，故;

或列举出所有子集；

9、提示：设在上，那么在上，代入即可；

10、提示：构造函数，奇函数且单调递增；

11、提示：令，同理可得

周期为6。

或令，可得，两式联立可得

；

12、提示：由奇函数和在区间上是增函数，得函数在为增函数，由，得；转化即可

13、10提示：令，那么，分三对一，三对二，三对三讨论，分别为3,6,1，共10种；

14、(1)(2)

提示：=2\*GB2⑵中结合两个函数图像，分讨论

15、提示：顶点坐标为，顶点坐标，并且与的顶点都在对方的图象上，图象如图，A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以A-B=。

二、解答题

16、证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.

(2)设BC的中点为N，连接MN，那么由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上。

又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，

所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE。

又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E