专题62：基本不等式-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）（解析版）_1.docx

专题62：基本不等式

（一）不等式与不等关系

1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：

(1)对称性：(2)传递性：

(3)加法法则：；(同向可加)

(4)乘法法则：；

(同向同正可乘)

倒数法则：

(6)乘方法则：

(7)开方法则：

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）

3、应用不等式性质证明不等式

例1：1．（2018·全国·高考真题（理））设，，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【详解】

分析：求出，得到的范围，进而可得结果．

详解：.

,即

又

即

故选B.

点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．

2．（2016·浙江·高考真题（文））已知a，b＞0，且a≠1，b≠1.若，则

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

【详解】

试题分析：，

当时，，，

当时，，

观察各选项可知选D.

【考点】对数函数的性质.

【易错点睛】在解不等式时，一定要注意对分为和两种情况进行讨论，否则很容易出现错误．

3．（多选）（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（???????）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．

【详解】

因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；

由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；

因为变形可得，设，所以，因此

，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．

故选：BC．

举一反三

1．（2016·全国·高考真题（理））若，，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【详解】

试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，，选项D错误，

因为选项C正确，故选C．

【考点】

指数函数与对数函数的性质

【名师点睛】

比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.

2．（2015·浙江·高考真题（文））设，是实数，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【详解】

本题采用特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.

考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.

3．（2014·四川·高考真题（文））若则一定有

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【详解】

本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选

4．（2017·北京·高考真题（文））能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.

【答案】

【解析】

【详解】

试题分析：，矛盾，所以?1，?2，?3可验证该命题是假命题.

【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．

（二）解不等式

1、一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解集：

设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：

二次函数

（）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

例2：1．（2015·天津·高考真题（理））设，则“”是“”的（???????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.

【详解】

由，可得，即；

由，可得或，即；

∴是的真子集，

故“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A

2．（2015·江苏·高考真题）不等式的解集为________.

【答案】

【解析】

【详解】

试题分析：本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化为相同的形式，即底数化为2，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系得到未知数的范围．

,

是一个递增函数；

故答案为.

考点：指数函数的单调性和特殊性

举一反三

1．（2019·天津·高考真题（文））设，使不等式成立的的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】

通过因式分解，解不等式．

【详解】

，

即，

即，

故的取值范围是．

【点睛】

解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准