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《线性与非线性规划》试题A及其答案

一、选择题（每题2分，共10分）

1.在线性规划中，如果目标函数是最大化，那么约束条件通常是______。

A.等式

B.不等式

C.等式或不等式

D.不等式和等式

答案：C

2.在非线性规划中，下列哪个方法通常用于求解无约束问题？

A.单纯形法

B.拉格朗日乘数法

C.牛顿法

D.柯西施瓦茨不等式

答案：C

3.如果一个非线性规划问题存在多个局部极小值点，那么它______。

A.一定存在全局极小值点

B.一定不存在全局极小值点

C.可能存在全局极小值点

D.不可能存在全局极小值点

答案：C

4.在线性规划中，如果目标函数是线性函数，那么该问题的可行域是______。

A.有限区域

B.无限区域

C.空集

D.以上都可能

答案：D

5.在非线性规划中，如果目标函数是凸函数，那么该问题______。

A.必有全局最优解

B.必无全局最优解

C.不一定有全局最优解

D.无法确定

答案：A

二、填空题（每题2分，共10分）

1.线性规划问题的一般形式是______。

答案：目标函数为线性函数，约束条件为线性方程组或不等式组。

2.在非线性规划中，如果目标函数是二次函数，这类问题通常被称为______。

答案：二次规划问题。

3.在非线性规划中，若目标函数和约束条件都是凸函数，则该问题称为______。

答案：凸规划问题。

4.拉格朗日乘数法用于求解带有______的极值问题。

答案：等式约束条件。

5.牛顿法是一种用于求解______的数值方法。

答案：无约束优化问题。

三、判断题（每题2分，共10分）

1.线性规划问题一定有可行解。（错/对）

答案：错。线性规划问题可能有可行解，也可能无可行解。

2.在非线性规划中，局部极小值点一定是全局极小值点。（错/对）

答案：错。局部极小值点不一定是全局极小值点。

3.如果一个非线性规划问题的目标函数和约束条件都是线性的，那么该问题等同于线性规划问题。（错/对）

答案：对。

4.在非线性规划中，如果目标函数是凹函数，那么该问题一定有全局最优解。（错/对）

答案：错。凹函数并不保证一定有全局最优解。

5.柯西施瓦茨不等式可以用于证明线性规划问题的解的存在性。（错/对）

答案：错。柯西施瓦茨不等式与线性规划问题的解的存在性无直接关系。

四、解答题（每题20分，共60分）

1.设线性规划问题如下：

最小化\(z=2x_1+x_2\)

约束条件：

x_1+2x_2\geq4

x_1+x_2\leq3

x_1,x_2\geq0

求该线性规划问题的最优解。

答案：

使用单纯形法求解，首先将不等式约束条件转换为等式约束条件，引入松弛变量\(s_1\)和\(s_2\)：

x_1+2x_2+s_1=4

x_1+x_2+s_2=3

x_1,x_2,s_1,s_2\geq0

然后构造初始单纯形表，通过迭代得到最优解\(x_1=0,x_2=2\)，最优目标函数值\(z=2\)。

2.设非线性规划问题如下：

最小化\(z=x^2+2y^2\)

约束条件：

x^2+y^2=1

x,y\in\mathbb{R}

使用拉格朗日乘数法求解该问题。

答案：

构造拉格朗日函数：

L(x,y,\lambda)=x^2+2y^2+\lambda(x^2+y^21)

求偏导数并令其为0：

\frac{\partialL}{\partialx}=2x+2\lambdax=0

\frac{\partialL}{\partialy}=4y+2\lambday=0

\frac{\partialL}{\partial\lambda}=x^2+y^21=0

解得\(x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}},y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\)。将这些值代入目标函数，得到最小值\(z=1\)。

3.设非线性规划问题如下：

最小化\(z=(x1)^2+(y2)^2\)

约束