2025年高考数学一轮复习讲义(新高考专用)专题04基本不等式(原卷版+解析).docxVIP

专题04基本不等式（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 2

【考点突破】 10

【考点1】利用基本不等式求最值 10

【考点2】基本不等式的综合应用 13

【考点3】基本不等式的实际应用 20

【分层检测】 27

【基础篇】 27

【能力篇】 33

【培优篇】 36

考试要求：

1.了解基本不等式的证明过程.

2.能用基本不等式解决简单的最值问题.

3.掌握基本不等式在生活实际中的应用.

知识梳理

知识梳理

1.基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)

(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.

(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数.

2.两个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

3.利用基本不等式求最值

(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).

(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.

1.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.

2.ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2).

3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错.

4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2022·全国·高考真题）已知，则（????）

A． B． C． D．

2．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（????）

A． B．

C． D．

3．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（????）

A．13 B．12 C．9 D．6

4．（2021·浙江·高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

二、多选题

5．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（????）

A． B．

C． D．

三、填空题

6．（2022·全国·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，．

7．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示；若，则的最大值为．

8．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为．

考点突破

考点突破

【考点1】利用基本不等式求最值

一、单选题

1．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（????）

A． B．

C． D．

2．（2023·辽宁葫芦岛·二模）若，则的最小值是（????）

A． B．1

C．2 D．

二、多选题

3．（2023·江苏·一模）已知正数a，b满足，则（????）

A．的最小值为 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最小值为

4．（2023·山东烟台·三模）已知且，则（????）

A．的最大值为 B．的最大值为2

C．的最小值为6 D．的最小值为4

三、填空题

5．（2023·辽宁大连·三模）已知，且，则的最小值为.

6．（2020·天津滨海新·模拟预测）已知，则的最大值是.

反思提升：

1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)的最值”的问题，先将eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)转化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq\f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.

3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.

【考点2】基本不等式的综合应用

一、单选题

1．（2024·山东济宁·一模）已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（????）

A． B． C