2024-2025学年广东省东莞市高二上册第一次联考数学学情检测试卷（含解析）.docx

2024-2025学年广东省东莞市高二上学期第一次联考数学学情

检测试卷

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知，若，则实数的值为（）

A. B. C. D.2

2.是被长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（）

A. B.

C. D.

3.已知向量，，则在向量上的投影向量为（）

A. B. C. D.

4.在棱长为2正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（）

A. B. C. D.

5.已知四棱锥，底面为平行四边形，分别为棱上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（）

B.

C. D.

6.在四面体中，空间的一点满足．若共面，则（）

A. B. C. D.

7.已知向量，则的最小值为（）

A. B. C. D.

8.“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球）.如图：已知粽子三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（）.

A. B. C. D.

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）

A.

B.向量与所成角的余弦值为

C.平面的一个法向量是

D.点到平面的距离为

10.在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（）

A.当时，点在棱上

B.当时，点到平面的距离为定值

C.当时，点在以的中点为端点的线段上

D.当时，平面

11.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达?芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达?芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）

A. B.直线与平面所成角的正弦值为

C.点到直线的距离是 D.异面直线与所成角的余弦值为

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，是的中点．在直线上求一点，当的长为______时，使．

13.四棱锥中，底面，底面是正方形，且，，是的重心，则与平面所成角的正弦值为______.

14.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为_______.

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15.如图，在长方体中，，点在棱上移动.

（1）当点在棱的中点时，求平面与平面所成的夹角的余弦值；

（2）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.

16.如图所示，直三棱柱中，分别是的中点．

（1）求BN长；

（2）求值．

（3）求证：BN⊥平面．

17.如图，在四棱维中，平面平面，，，，，，．

（1）求直线与平面所成角的正切值；

（2）在上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

18.如图1，在边长为4的菱形中，，点M，N分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．

（1）在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；

（2）若平面平面，线段上是否存在一点Q，使得平面与平面所成角余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．

19.如图，四棱锥中，四边形是菱形，平面，分别是线段和上的动