线性代数课件4-2向量组的线性相关性.pptVIP

***§2向量组的线性相关性目的要求（1）掌握向量组线性相关性的定义；（2）掌握判断向量组线性相关性的两种方法；（3）掌握向量组线性相关性的相关结论.§2向量组的线性相关性定义设有向量组添加标题则称向量组A是线性相关的.添加标题否则，称它是线性无关的.添加标题才能使(＊)式成立，添加标题也就是，只有当添加标题则称向量组A是线性无关的.添加标题如果存在不全为零的数添加标题说明：?01线性相关02?03线性相关04等价命题：05?06含零向量的向量组07对应分量成比例.08任一非零向量09线性无关.10必线性相关.11线性相关性的判定（定义法）线性相关判定向量组解齐次线性方程组若（1）有非零解若（1）只有唯一零解，判定向量组线性无关例3设有数的线性相关性.讨论解：单击此处添加小标题所以向量组E线性无关.单击此处添加小标题的线性相关性.单击此处添加小标题设有数单击此处添加小标题使得单击此处添加小标题讨论单击此处添加小标题解：定理1秩R(A)m向量组A:a1,a2,……,am线性相关有非零解.其中矩阵A=(a1,a2,……,am).向量组A:a1,a2,……,am线性无关添加标题01单击此处添加小标题只有零解.03单击此处添加小标题定理202单击此处添加小标题秩R(A)=m04线性相关性的判定（秩法）线性无关向量组A:矩阵A=()若秩R(A)=m,线性相关若秩R(A)m,例5讨论向量组向量组a1,a2,a3是线性无关的.因为R(A)=3，的线性相关性.解：例6讨论向量组的线性相关性.解：知R(a1,a2,a3)=23,所以向量组a1,a2,a3线性相关.练习：讨论下列向量组的线性相关性.R(a1,a2,a3,a4)=3向量组a1,a2,a3,a4线性相关.用mathematica求解例8已知向量组a1,a2,a3线性无关，证一b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a1证明向量组也线性无关.向量组a1,a2,a3线性无关,也就是x1=0，x2=0，x3=0向量组b1,b2,b3线性无关.设有数x1,x2,x3使例8已知向量组a1,a2,a3线性无关，b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a1证明向量组也线性无关.证二：所以向量组b1,b2,b3线性无关.其中例8也线性无关.因a1,a2,a3线性无关证明向量组已知向量组a1,a2,a3线性无关，b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a1证三：所以向量组b1,b2,b3线性无关.例9证明向量组线性相关.证一例9证明向量组线性相关.证二证三证明向量组线性相关.定理3几个结论：(1)向量组A:a1,a2,……,am(m≥2)线性相关其余m-1个向量至少有一个向量能由线性表示.证明充分性设中有一个向量（比如能由其余向量线性表示.）故故线性相关.必要性设线性相关，则有不全为0的数因中至少有一个不为0，不妨设即能由其余向量线性表示.证毕.使则有***