2025年高考数学一轮复习讲义(新高考专用)专题47椭圆(原卷版+解析).docxVIP

专题47椭圆（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 3

【考点突破】 4

【考点1】椭圆的定义及应用 4

【考点2】椭圆的标准方程 5

【考点3】椭圆的简单几何性质 7

【分层检测】 8

【基础篇】 8

【能力篇】 11

【培优篇】 12

考试要求：

1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

知识梳理

知识梳理

1.椭圆的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.

其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合P为线段；

(3)若a＜c，则集合P为空集.

2.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)

eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(ab0)

图形

性质

范围

－a≤x≤a

－b≤y≤b

－b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性

对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点

A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)

轴

长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b

焦距

|F1F2|＝2c

离心率

e＝eq\f(c,a)∈(0，1)

a，b，c的关系

c2＝a2－b2

1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则

(1)b≤|OP|≤a；

(2)a－c≤|PF|≤a＋c.

2.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)中：

(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；

(2)S＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.

3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝eq\f(2b2,a).

4.AB为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP，为垂足，则线段PP的中点M的轨迹方程为（????

A．（） B．（）

C．（） D．（）

2．（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（????）

A．1 B．2 C．4 D．5

3．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（????）

A． B． C． D．

4．（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（????）

A． B． C． D．

5．（2022·全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（????）

A． B． C． D．

6．（2022·全国·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（????）

A． B． C． D．

二、填空题

7．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是．

考点突破

考点突破

【考点1】椭圆的定义及应用

一、单选题

1．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（????）

A． B．9 C．16 D．25

2．（2024·陕西西安·三模）已知定点与椭圆上的两个动点，，若，则的最小值为（????）

A． B．13 C． D．

二、多选题

3．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点为，，过的直线与交于，两点.若，.则（????）

A．的周长为 B．

C．的斜率为 D．椭圆的离心率为

4．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知、，点为曲线上动点，则下列结论正确的是（????）

A．若为抛物线，则

B．若为椭圆，则

C．若为双曲线，则

D．若为圆，则

三、填空题

5．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练