《高等应用数学》课件_第4章.pptx

第四章不定积分第一节原函数与不定积分第二节不定积分基本公式及直接积分法第三节不定积分的换元积分法与分部积分法

第一节原函数与不定积分

一、原函数的概念定义1设f(x)是定义在区间I上的已知函数,若存在一个函数F(x),对于区间I上的每一点x都满足F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称函数F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数.

性质若函数f(x)有原函数,则它有无数多个原函数,且任意两个原函数的差是一个常数.此性质表明,若F(x)是f(x)的一个原函数,则f(x)就有无数多个原函数,并且任意一个原函数都可以表示为F(x)+C(其中C是任意常数).

二、不定积分的定义

定义2函数f(x)在区间I上的任意原函数叫作f(x)的不定积分,记作∫f(x)dx,其中“∫”称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.易知,若F(x)是f(x)的一个原函数,即F(x)=f(x),则有∫f(x)dx=F(x)+C,其中C是任意常数,称为积分常数.

为简便起见,在不致发生混淆的情况下,不定积分也简称为积分.我们把求不定积分的运算称为积分运算,求不定积分的方法称为积分法.

三、不定积分的几何意义

例3已知某曲线经过点A(0,1),且其上任意一点处的切线的斜率等于4x,求此曲线方程.

解设所求曲线方程为y=f(x),则f(x)=4x,从而f(x)是4x的一个原函数.又因为(2x2)=4x,所以2x2是4x的一个原函数.故f(x)=2x2+C.因为曲线过点A(0,1),即令x=0,所以f(x)=1,得C=1.于是所求的曲线方程是f(x)=2x2+1.

若F(x)是f(x)的一个原函数,则称y=F(x)的图像为f(x)的一条积分曲线.f(x)的不定积分在几何上表示f(x)的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线簇.显然,若在每一条积分曲线上横坐标相同的点作切线,则这些切线互相平行,如图4.1所示.

图4.1积分曲线图

第二节不定积分基本公式及直接积分法

一、不定积分基本公式因为积分与微分是互逆运算,所以由微分基本公式易得积分基本公式.

二、不定积分基本运算法则

不定积分最简单的运算法则就是由导数的线性运算法则得到不定积分基本运算法则.

法则1两个函数和(差)的不定积分等于各个函数不定积分的和(差).

即:若函数f(x),g(x)在区间I上都可积,则f(x)±g(x)在I上也可积,且

法则2被积函数中不为零的常数因子可以提到积分符号外面.即

三、直接积分法

直接用积分基本公式与运算法则求不定积分,或者对被积函数进行适当的恒等变形,转化为利用积分基本公式求出不定积分的计算方法称为直接积分法.

第三节不定积分的换元积分法与分部积分法

一、第一换元积分法

二、第二换元积分法

三、分部积分法

由两个函数乘积的求导法则(uv)=uv+uv,两边积分得∫(uv)dx=∫uvdx+∫uvdx,从而∫uvdx=∫(uv)dx-∫uvdx,即∫uvdx=uv-∫vudx,可改写成∫udv=uv-∫vdu.

以上两个公式称为分部积分公式.用分部积分公式求积分的方法称为分部积分法.

分部积分法的关键是寻找u,v,一般来说,选择u,v的原则是∫vdu比∫udv易积分.