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考研数学三向量
1.【单项选择题】已知n维向量aa2,…，a,线性无关，那么能线性相
关的B2…，Bs是
A.把ai(i=l,2,…，s)中第1个分量与第n个分量互换为B「
B.把a“i=l,2,s)中第1个分量改为相反数是
C.把aKi=l,2,…，s)中第1个分量改为。得到火.
D.把a“i=l,2,…，s)的第1个与第2个分量之间添加分量。为3.
正确答案：C
参考解析：利用经过初等变换矩阵的秩不变，以及r(A)=A列秩=A行秩的三秩相
等定理.易见(A),(B)就是对矩阵
(供,a，a)~*(A/)
分别作了一次行变换,由于8.a..a线性无关,知秩r(aa.…a)=s,从而秩r(W.
“•，艮)=5,所以他),也)必无关.
因为低维向坦无关,那么延伸至高维向量必无关，所以(D)必无关.
只有(C)有能线性相关,例如珀=(121),曲=(342)无关，但J=(021)业=
(0.4,2)线性相关.
2.【单项选择题】设ai,a,a3,a,是三维非零向量，则下列命题中正确的
2
是
A.若aa2线性相关，a3,%线性相关，则a1+a3，a?+a］必线性相关.
3
若ai,a2,a3线性无关，则aa”，a+a,a3+a”必线性无关.
24
若
C
a4不能由ai,a,a3线性表示，则a1，a,a：；必线性相关.
若
22
D.a4能由ai,a,a3线性表示,则a”a,a3必线性无关.
22
正确答案：C
参考解析：因为al,a2,a3,a4是4个3维向量，所以知a1，a,a,
23
a4一定线性相关.
若a线性无关，而a：.a.aa线性相关,那么a,必由aaa线性表示,现
(C)中a,不能由saa线性表示,那么a.a.a肯定线性相关，故(C)一定成立.
;
而当如由如，曲,a线性表出时aa.a既能线性相关，也能线性无关，故⑴)不
正确.例如
T7
a,=(1,0,0,a?=(0,1.0).a；=(0,0»0),a,=(1,1,0)
有④=%+色,但aaa线性相关.
关于(A),若
T
a：=(l,0,0).a=(200/=(0.1,0)。良=(0,3,0―
?
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