新高考数学一轮复习题型精准训练8.4.1抛物线（题型战法）(解析版).doc

第八章平面解析几何

8.4.1抛物线（题型战法）

知识梳理

一定义及标准方程

定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

方程：

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形与方程

标准方程

焦点

准线

二简单几何性质

抛物线：

(1)焦半径：，；焦点弦：

(2)若直线的倾斜角为，则，

(3)以为直径的圆与准线相切，以为直径的圆与y轴相切

(4)

(5)

(6)中点弦：（中点坐标和斜率的关系）

题型战法

题型战法一抛物线的定义及辨析

典例1．若动点P到定点的距离与到直线的距离相等，则点P的轨迹是（??????）

A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线

【答案】A

【分析】由抛物线定义可直接得到结果.

【详解】动点满足抛物线定义，则其轨迹为抛物线.

故选：A.

变式1-1．若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹为（????）

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆

【答案】C

【解析】题设条件等价于点到直线的距离等于它到点的距离,满足抛物线定义.

【详解】因为点到直线的距离比它到点的距离小,

所以点到直线的距离等于它到点的距离,

∴点的轨迹为抛物线,

故选:C.

【点睛】本题考查抛物线的基本定义,考查轨迹思想,属于简单题.

变式1-2．在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（????）

A．3???? B．2???? C．1???? D．

【答案】A

【分析】求出的长，根据抛物线的定义可得．

【详解】设准线与轴交于点，则，，∴，

连接，则，又，所以是正三角形，

∴，准线的方程是，

∴点纵坐标为3.

故选：A

变式1-3．抛物线上一点到焦点的距离是10，则点到轴的距离是（????）

A．10 B．9 C．8 D．7

【答案】B

【分析】由抛物线的定义即可求解.

【详解】解：由题可知，抛物线的准线方程为，

因为点到焦点的距离是10，故到准线的距离是10，

则点到轴的距离是9.

故选：B.

变式1-4．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标为（????）

A．6 B．5 C．4 D．2

【答案】C

【分析】根据抛物线的标准方程，确定准线方程，根据抛物线的定义计算可得；

【详解】解：设点的横坐标为，抛物线的准线方程为，

点在抛物线上，，

，．

故选：C．

题型战法二抛物线上的点到焦点与定点距离的和、差最值

典例2．已知抛物线，，点在抛物线上，记点到直线的距离为，则的最小值是（????）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【分析】先求出抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义将转化为的距离，即可求解.

【详解】由已知得抛物线的焦点为，准线方程为，

设点到准线的距离为，则，

则由抛物线的定义可知．

∵，当点、、三点共线时等号成立，

∴，

故选：.

变式2-1．已知焦点为F的抛物线的准线是直线l，点P为抛物线C上一点，且垂足为Q，点则的最小值为（????）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】连接PF，由抛物线的定义可知PF=PQ，然后结合图形可得答案

【详解】连接PF，由抛物线的定义可知PF=PQ，

所以，

故选A.

变式2-2．已知定点，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则的最小值为（）

A．5 B．4.5 C．3.5 D．不能确定

【答案】C

【分析】过点作准线，垂足为，根据抛物线的定义可知，当且仅当、、三点共线时，的最小值为.

【详解】如图所示，过点作准线，垂足为，

则，

当且仅当、、三点共线时，

取得最小值.

故选：C

【点睛】本题考查了抛物线的定义、抛物线的标准方程，考查了基本运算能力，属于基础题.

变式2-3．抛物线y2＝4x的焦点为F，定点M(2,1)，点P为抛物线上的一个动点，则|MP|＋|PF|的最小值为（????）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】C

【分析】根据抛物线的性质可知最短距离为到准线的距离.

【详解】解：易知点在抛物线的内部，其准线方程为，

过作准线的垂线，垂足为，则，

故而当三点共线时，|MP|＋|PF|取得最小值.

故选：C.

【点睛】本题考查抛物线的定义和性质的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，解答的关键利用是抛物线定义，体现了转化的数学思想.

变式2-4．已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（????）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】利用抛物线定义，把问题转化为抛物线上的点到点A和焦点F距离差的最大值求解.

【详解】抛物线：的焦点，依题意，，则，

当且仅当点P，F，A共线，即点P为抛物线顶点时取“=”，

所以的最大值为.

故选：A

题型战法三抛物线的标准方程

典